Normale Matrix

02.05.2010, 18:39

MarcoSe

Normale Matrix

Guten Abend miteinander!

Folgendes sei gegeben:
Sei $\begin{eqnarray*} A \in Mat_{n \times n } (\mathbb C) \end{eqnarray*}$

Dann ist A genau dann normal, wenn $\begin{eqnarray*} ( \overline {Ax} ) ^T Ay = ( \overline {A^*x} )^T A^*y \end{eqnarray*}$ für alle x, y aus C^n.

( $\begin{eqnarray*} A^* = \overline {A}^T \end{eqnarray*}$ )

Wie kann ich das zeigen?
Ich wäre wie folgt ran gegangen:

Es gibt eine unitäre Matrix $\begin{eqnarray*} U \in \mathbb C^{n \times n} \end{eqnarray*}$ und eine Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D \in \mathbb C^{n \times n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A = UDU^H \end{eqnarray*}$

Ich hätte also:
$\begin{eqnarray*} (Ax) \overline{A}^Ty = ( \overline{Ax})^TAy &&= (\overline{U}~\overline{D}~U^T)(U~D~\overline{U}^T) ^T\\&&=(\overline{U}~\overline{D}~U^T)(\overline{U}~D ~U^T) \\&& =\overline{U}~\overline{D}~(U^T~\overline{U})~D ~U^T \\&& =\overline{U}~\overline{D}~D ~U^T\\&&=\overline{U}~D~\overline{D}~U^T \\&& =\overline{U}~D~(~U^T\overline{U})~\overline{D}~U^T \\&&=(UD\overline{U}^T)^T(\overline{UD\overline{U}^T}) \\&& = ( \overline{Ax})^TAy = (Ax) \overline{A}^T \end{eqnarray*}$

Ist diese Vorgehensweise korrekt, oder würde es anders / einfacher gehen?

03.05.2010, 14:38

Reksilat

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RE: Normale Matrix
Hi Marco,

Deine Umformung ist völlig konfus. Wo gehen denn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ hin? Du hast dort Gleichheitszeichen zwischen Matrizen und einfachen komplexen Zahlen stehen - das ist Unsinn.

Die Schurzerlegung benötigst Du hier außerdem nicht. Die linke Seite ist doch:
$\begin{eqnarray*} (\overline{Ax})^TAy=\overline{x}^T\overline{A}^TAy=\overline{x}^TA^*Ay \end{eqnarray*}$
Wenn Du die rechte Seite der Gleichung jetzt analog umformst, dann müsstest Du die eine Richtung der Behauptung sofort sehen.
Die andere Richtung ist dann auch nicht mehr schwer.

Gruß,
Reksilat.

03.05.2010, 23:11

MarcoSe

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RE: Normale Matrix
Die rechte Seite wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \overline{ A^*x}^T \cdot A^*y = \overline{A^*}^T \overline{x}^T A^*y = A \overline{x}^T A^*y \end{eqnarray*}$

Ja, die eine Richtung sieht man nun. Es gilt die Eigenschaft für normale Matrizen: $\begin{eqnarray*} x^*x = xx^* \end{eqnarray*}$

Wie aber sähe der Ansatz für die andere Richtung aus?

04.05.2010, 09:27

Reksilat

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RE: Normale Matrix

Zitat:

Original von MarcoSe
Die rechte Seite wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \overline{ A^*x}^T \cdot A^*y = \overline{A^*}^T \overline{x}^T A^*y = A \overline{x}^T A^*y \end{eqnarray*}$

Das ist falsch! Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} A\overline{x}^T \end{eqnarray*}$ ist überhaupt nicht definiert. $\begin{eqnarray*} \overline{x}^T \end{eqnarray*}$ ist ein 1xn-Vektor, wie willst DU den von rechts an eine nxn-Matrix multiplizieren?

Nein, es ist $\begin{eqnarray*} \overline{A^*x}^T=\overline{x}^T\overline{A^*}^T \end{eqnarray*}$

Anschließend solltest Du aufschreiben, was genau Du voraussetzt und was Du zeigen willst.

Gruß,
Reksilat.

05.05.2010, 00:29

MarcoSe

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RE: Normale Matrix
Ich setzte voraus, dass A normal ist (bereits verwendet) und zusätzlich dass A nilpotent ist.

Zu zeigen ist, dass dann A=0 ist.

Nilpotent heisst ja, dass eine Matrix ab einem gewissen Grad so oder so = 0 ist.
Da A aber (unitär-) diagonalisierbar (folgt daraus, dass A normal ist) ist, muss A selbst schon 0 sein, denn wäre A nicht diagonalisierbar, wäre A eine Diagonalmatrix ungleich 0, und diese sind widerum nicht nilpotent.

Korrekt so?

05.05.2010, 10:19

Reksilat

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RE: Normale Matrix
Wie zum Wellensittich kommst Du darauf, dass A nilpotent ist? verwirrt

Das ist Unfug!

Außerdem setzt Du nur bei einer Richtung voraus, dass A normal ist. Ich dachte eigentlich, dass Du diese Richtung bereits hast.

Gruß,
Reksilat.

06.05.2010, 10:24

MarcoSe

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RE: Normale Matrix
Dass A nilpotent sein soll, habe ich geschrieben, weil ich eigentlich zeigen sollte, dass wenn A normal (gemacht) UND nilpotent ist, dass dann A=0 ist.
Ich habe gedacht, dass ich die Eigenschaft nilpotent auch mal brauchen sollte...

06.05.2010, 15:19

MarcoSe

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RE: Normale Matrix
Sorry, das ist Bullshit.
Du hast Recht!

Eine Frage haette ich allerdings noch: Es fehlt ja wie gesagt noch die Rueckrichtung, also jene, wo man nicht annimmt, dass A normal ist. Wie sieht dort der Ansatz aus, die Behauptung zu zeigen?

Konkret gilt ja: ist $\begin{eqnarray*} ( \overline{A^*x})^TA^*y = ( \overline{Ax})^TAy \end{eqnarray*}$ , dann ist A normal.

Liebe Gruesse,
Marco

06.05.2010, 15:21

Reksilat

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RE: Normale Matrix
Das gilt nicht, das ist zu zeigen.
Voraussetzung ist jetzt also $\begin{eqnarray*} ( \overline{A^*x})^TA^*y = ( \overline{Ax})^TAy \end{eqnarray*}$
forme das doch mal wie oben ein bisschen um.

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