Konvergenz bei Metrischem Raum

02.05.2010, 19:07

Physinetz

Konvergenz bei Metrischem Raum

Hallo,

komme mit der Aufgabenstellung nicht so ganz klar:

Auf der Menge $\begin{eqnarray*} C^0([0,1]) \end{eqnarray*}$ der reelwertigen stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] verwenden wir durch $\begin{eqnarray*} \rho_\infty (f,g):=max{| f(t)-g(t) | | t\in [0,1]} \end{eqnarray*}$ festgelgete Metrik.
Die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in N} \end{eqnarray*}$ wird definiert durch $\begin{eqnarray*} f_n(t)=\sqrt{t²+\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ für t\in [0,1].

Überprüfen Sie die Folge auf Konvergenz und ggf. Grenzwert.

a) Also was eine Metrix ist dürfte ich verstanden haben. Die Metrix mit dem unendlich Zeichen steht ja für maximalen Abstand, das würde ja bedeuten, das man den maximalen Abstand $\begin{eqnarray*} max | f(t)-g(t) | \end{eqnarray*}$ bestimmen sollte?

Aber was hat nun diese Metrix mit der Folge $\begin{eqnarray*} f_n(t)=\sqrt{t²+\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ zu tun? Steige da nicht ganz durch...

Und warum wird hier ein g(t) genannt, welches gar nicht angegeben ist? Soll vielleicht die Metrix dazu benutzt werden, um zu zeigen,dass die Funktion konvergiert? Wenn ja, wie geht man das an?

Grüße und schönen Sonntag abend

02.05.2010, 19:28

Airblader

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Eine Metrik ist eine Funktion, die dir den Abstand von zwei "Punkten" des Raums angibt. Es ist der verallgemeinerte Begriff dessen, was du praktisch mit dem Lineal misst (eben den Abstrand von Punkten).

In diesem Fall sind deine Punkte aber nicht einfach "Punkte", sondern Funktionen. In jedem Punkt des Raumes hängt also sozusagen eine Funktion (sehr grob anschaulich ausgedrückt).
Ergo misst man den Abstand zweier Punkte dadurch, dass man den Abstand von Funktionen misst. Was man darunter versteht, muss man aber erstmal definieren - und genau das macht die Metrik.

In deinem Fall definiert man als den Abstand von zwei Funktionen einfach das Maximum der Differenz der beiden Funktionen.

Deine Folge ist nun also eine Folge von Punkten des Raumes. Diese sind hier ja Funktionen. Also hast du eine Folge von Funktionen.
Um zu schauen, ob diese konvergiert, musst du also herausfinden, ob sich deine Funktionenfolge einer bestimmten Funktion "annähert" (gegen diese konvergiert) - und zwar im Sinne der Metrik.

Für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ muss es also eine Funktion $\begin{eqnarray*} \hat{f}(t) \end{eqnarray*}$ geben, so dass $\begin{eqnarray*} d(\hat{f}, f_n) < \varepsilon \end{eqnarray*}$ wird für ein hinreichend großes $\begin{eqnarray*} n \geq N_\varepsilon \end{eqnarray*}$ , und zwar egal, wie klein du $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ auch wählst.

Ist es dir so etwas klarer?

Gegen was $\begin{eqnarray*} f_n(t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ geht ist ja sehr leicht erkennbar. Damit hast du einen "Kandidaten". Dein Job ist es nun, formal nachzuweisen, dass diese Funktion dann auch wirklich die Konvergenzdefinition erfüllt.

air

02.05.2010, 21:08

Physinetz

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Top Erklärung, vielen Dank für die Ausführlichkeit!

Nur ist mir noch nicht so 100% klar, wieso hier a) der Begriff Metrix überhaupt auftaucht und b) wieso mit unendlich Zeichen?

zu a) Ist ja im Prinzip der Abstand der Punkte, und bei einer Konvergenz wird dieser ja sehr klein (Epsilon-Umgebung) , oder? Aber der Begriff Metrix wird hier meiner Meinung nach nur zur Verwirrung eingebaut?

zu b) Wieso wird hier mit maximalem Abstand das ganze beschrieben? Also Metrix mit unendlich Zeichen?

Gut aufjedenfall konvergiert die Folge der Funktionen für n -- >gegen unendlich gegen $\begin{eqnarray*} f_n(t)=\sqrt{t² }=t \end{eqnarray*}$ .

Müsste ich nun praktisch gemäß dem Grenzwertbegriff bei Folgen die ganze Sache überprüfen, eventuell so: $\begin{eqnarray*} | f-f_n |= | t-\sqrt{t²+\frac{1}{n} } | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Aber weiter wüsste ich nicht, wie man das abschätzen/weiterrechnen sollte?

Danke für die Antwort schonmal!

02.05.2010, 21:14

Airblader

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b) Das ist einfach nur eine Bezeichnung. Das Unendlich-Zeichen bei Metriken oder Normen lässt meist darauf schließen, dass es um eine Art von "Maximum" geht (wie hier ja auch). Aber: Es ist nur eine Bezeichnung.

a) Das Ding heißt Metrik und nicht Metrix, das ist mal das erste. Was daran verwirrend sein soll weiß ich nicht. Es heißt so und du brauchst eine Metrik ... wo ist hier was verwirrend?

Deine Schreibweise der Grenzfunktion ist sehr verwirrend. Ein "n" im Index macht keinen Sinn mehr, wenn du n gegen Unendlich gehen lässt. Wir können es ja symbolisch so bezeichnen: $\begin{eqnarray*} f_\infty (t) = t \end{eqnarray*}$
Übrigens: $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2} = |t| \neq t \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall allerdings stimmt tatsächlich, dass der Betrag nicht stehen muss - aber weißt du auch, warum?

Und ja, danach musst du abschätzen. Aber doch nicht einfach durch den Betrag der Differenz! Was kleiner als Epsilon werden muss ist der metrische Abstand der Funktionen ... und wie der definiert ist wurde dir ja mit der Metrik gesagt.
In meinem ersten Post habe ich dir sogar recht genau hingeschrieben, was wie klein werden muss etc.

air

02.05.2010, 21:39

Physinetz

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Zitat:

ber doch nicht einfach durch den Betrag der Differenz! Was kleiner als Epsilon werden muss ist der metrische Abstand der Funktionen ... und wie der definiert ist wurde dir ja mit der Metrik gesagt. In meinem ersten Post habe ich dir sogar recht genau hingeschrieben, was wie klein werden muss etc.

Ist das die Antwort? :

Zitat:

In deinem Fall definiert man als den Abstand von zwei Funktionen einfach das Maximum der Differenz der beiden Funktionen.

Ich benötige also den größtmöglichen Abstand der Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f_\infty (t) = t \end{eqnarray*}$ und der Funktion $\begin{eqnarray*} f_n(t)=\sqrt{t²+\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ und das ganze auf dem Intervall t Element [0,1] (weshalb man auch den Betrag wegfallenlassen kann?).

Wäre der größte Abstand für die Differenz, wenn ich n=1 setze? Und dann das einsetzen und ausrechnen?

02.05.2010, 21:53

Airblader

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Bis auf den letzten Satz stimmt alles, was du schreibst.
Jetzt zu diesem letzten Satz:

Für n kannst du schonmal gar nichts einsetzen, denn n soll ja nachher groß werden. Du untersuchst den maximalen Abstand, wie du sagtest, für $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Wohlgemerkt: Dich interessiert nicht der Wert für t, bei dem der Abstand maximal wird ... dich interessiert nur der Wert des maximalen Abstands selbst!
Dafür kann es allerdings, wenn man exakt sein möchte, sehr hilfreich sein, zu wissen, für welches t der Abstand denn eigentlich am Größten wird.

Du könntest also in einer Nebenrechnung bestimmen, wo das Maximum der Differenzfunktion

$\begin{eqnarray*} \left| t - \sqrt{t^2 + n^{-1}}\right| \end{eqnarray*}$

liegt. Erstmal wäre es da natürlich hilfreich, den Betrag wegzubekommen.
Wir können das obige nun wie folgt umschreiben (Begründe das mal - denn genau dieses Argument hilft bei der weiter unten angesprochenen Monotonie später auch!)

$\begin{eqnarray*} \left| t - \sqrt{t^2 + n^{-1}}\right| = \sqrt{t^2 + n^{-1}} - t \end{eqnarray*}$

Und von dieser hinteren Funktion möchtest du nun wissen, für welches t das Maximum angenommen wird.
Hier mal ein Plot für n=1 (rot), n=10 (grün) und n=100 (blau):

Ich denke, du siehst ganz gut, für welches t der Abstand wohl immer maximal wird (im Übrigen sieht man auch sehr schön, dass der Abstand für immer größere n auch wirklich kleiner zu werden scheint).
Du solltest nun also auch beweisen, dass für t=0 der Abstand maximal wird. Das geht sehr sehr einfach, wenn du zeigst, dass die Differenz in diesem Bereich monoton fallend ist (dann muss das Maximum ja ganz links liegen).

Wenn du das bewiesen hast, dann weißt du also genau, welchen Wert

$\begin{eqnarray*} d(f_\infty , f_n) = \max_{t \in [0,1]} \left|f_\infty - f_n\right| \end{eqnarray*}$

annimmt (in Abhängigkeit von n versteht sich). Damit sollte es dann auch nicht mehr besonders schwer fallen, zu zeigen, dass dieser Abstand für ein genügend großes n beliebig klein wird.

air

02.05.2010, 22:25

Physinetz

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Habe mir gerade dein Video "#12 - Folgen und Konvergenz I - Part 1" reingezogen, da sprichst du ja auch schon die Metrik an ;-)

Zitat:

Du solltest nun also auch beweisen, dass für t=0 der Abstand maximal wird. Das geht sehr sehr einfach, wenn du zeigst, dass die Differenz in diesem Bereich monoton fallend ist (dann muss das Maximum ja ganz links liegen).

Heißt das, dass ich hier dann nun wirklich t=0 setzen muss? Dann habe ich eine Folge, bei der für große n , die Folge gegen Null konvergiert?

Ich probiers nochmal (mit deinem Video im Hinterkopf):

$\begin{eqnarray*} | 0-f_n(0) |= | 0-\sqrt{0²+\frac{1}{n} } | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ist das wenigstens der richtige Ansatz Gott

Danke für deine mühsame Hilfe, ich weiß das zu schätzen!

02.05.2010, 22:37

Airblader

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Nein, pass auf:

Wir haben hier zwei Arten von "Abstand". Einmal gibt es den metrischen Abstand. Der metrische Abstand ist der Abstand zwischen zwei Funktionen (im Sinne vom Objekt "Funktion").
Dieser metrische Abstand ist so definiert, dass er angibt, was der maximale geometrische Abstand der beiden Funktionen für ein bestimmtes Argument ist. Der geometrische Abstand ist ein Abstand von zwei Punkten (die eben jeweils auf den beiden Funktionen liegen), der metrische Abstand ist aber eben der Abstand zwischen den Funktionen selbst.

Ist dir dieser Unterschied bewusst?

Wir wollen nun den metrischen Abstand berechnen, der ja gerade aus dem Betrag des größten geometrischen Abstandes der beiden Funktionen besteht.
Bezogen auf die Grafiken oben: Die Linien, die du siehst, geben dir den geometrischen Abstand in jedem Punkt an. Der metrische Abstand ist der größte Wert einer solchen Linie (klar?).
Wir sehen nun, dass der metrische Abstand scheinbar immer für t=0 eintritt. Wenn das so ist, wäre das natürlich klasse, denn dann vereinfacht sich alles zu

$\begin{eqnarray*} d(f_\infty , f_n) = f_n(0) - 0 \end{eqnarray*}$

(Den Betrag kann man wie oben beschrieben dann ja weglassen).
Allerdings ist die Aussage, dass dies immer für t=0 der Fall ist, erstmal eine Behauptung, die wir nicht sicher wissen (oder siehst du das dem Term an?). Also müssen wir diese Behauptung kurz beweisen.
Anschaulich: Wir wollen zeigen, dass jede dieser Linien (also für jedes n!) ihr Maximum ganz links bei t=0 annimmt. Dies können wir machen, indem wir zeigen, dass jede dieser Linien monoton fällt, denn dann muss der größte Wert logischerweise ganz links (also bei t=0) sein, ja?

Zu allererst solltest du also wirklich beweisen: $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2 + n^{-1}} - t \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Funktion für $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Nehmen wir nun an, dass du das bewiesen hast.
Dann wissen wir:

$\begin{eqnarray*} d(f_\infty , f_n) = f_n(0) - 0 = f_n(0) = \sqrt{n^{-1}} \end{eqnarray*}$

Was du ja bei der ganzen Aufgabe zeigen sollst, ist: $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~\exists N_\varepsilon \forall n \geq N_\varepsilon ~:~ d(f_\infty, f_n) < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Diese Aussage haben wir uns nun mühsamerweise vereinfacht zu:
Für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert dieses $\begin{eqnarray*} N_\varepsilon \end{eqnarray*}$ so dass für $\begin{eqnarray*} n \geq N_\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Und das zu beweisen ist nun wirklich nichtmal eine Fingerübung! Augenzwinkern

air

03.05.2010, 12:32

Physinetz

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Zitat:

Wir sehen nun, dass der metrische Abstand scheinbar immer für t=0 eintritt. Wenn das so ist, wäre das natürlich klasse, denn dann vereinfacht sich alles zu $\begin{eqnarray*} d(f_\infty , f_n) = f_n(0) - 0 \end{eqnarray*}$

Du gehst also davon aus das die Folge für unendlich gegen 0 konvergiert? Aber das ja natürlich dann nur an der Stelle t=0 richtig?

Ok Beweis dafür dürfte ja dann sein:

$\begin{eqnarray*} f_n(0)>f_{n+1}(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{t²+\frac{1}{n} } -t -\sqrt{t²+\frac{1}{n+1} }+t>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{t²+\frac{1}{n} } -\sqrt{t²+\frac{1}{n+1} }>0 \end{eqnarray*}$

Und man sieht ja, dass der Minuend größer ist als der Subtrahend (oder wie würde man das noch vereinfachen können den Ausdruck?)

Zumindest wäre das ja dann bewiesen...

Zweiter Teil:

Nun kann ich ja ausführlich schreiben:

$\begin{eqnarray*} | 0-f_n(0) |= | 0-\sqrt{0²+\frac{1}{n} } | < \epsilon \end{eqnarray*}$

bzw. dann wie du:

Zitat:

Für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert dieses $\begin{eqnarray*} N_\varepsilon \end{eqnarray*}$ so dass für $\begin{eqnarray*} n \geq N_\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Stimms alles?
Grenzwert der Folge wäre ja dann praktisch wie oben erwähnt 0 ...

Vielen Dank Airblader, für die tolle Hilfe...!!!

03.05.2010, 15:37

Airblader

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Zitat:

Original von Physinetz
Du gehst also davon aus das die Folge für unendlich gegen 0 konvergiert? Aber das ja natürlich dann nur an der Stelle t=0 richtig?

Nein, nochmal:
Der metrische Abstand bezeichnet immer den maximalen "geometrischen" Abstand der beiden Funktionen. Und wir stellen fest (und beweisen!), dass der maximale geometrische Abstand immer für t=0 angenommen wird.
Wenn wir das wissen, dann können wir den metrischen Abstand berechnen, indem wir schlicht und ergreifend die Differenz an der Stelle t=0 nehmen ... denn wir wissen ja nun, dass die Differenz dort am Größten ist (und damit den metrischen Abstand bestimmt)!

Dein Beweis für die Monotonie ist wertlos. Die Kurve ist eine Funktion in t, nicht in n. Sie muss also monoton in der Variable t sein.

Zitat:

Beweis:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{1}{n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Was genau hast du damit bewiesen?
Du willst beweisen: $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~\exists N_\varepsilon ~\forall n \geq N_\varepsilon ~:~ \frac{1}{\sqrt{n}} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Wenn du das beweisen willst, dann lies es so wie es dasteht: Gebe dir ein Epsilon vor und bestimme ein N(epsilon), so dass diese Bedingung für alle größere n erfüllt ist.
Wie dieses N(epsilon) aussieht sieht man ja eigentlich sogar sofort.

Edit: By the way - es ist enorm wichtig, dass das N nicht von t abhängt. Ist dir bewusst, warum?

air

08.05.2010, 08:36

Airblader

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Schade, dass der Thread einfach abbricht. Bedankt hat man sich zwar, aber dass der Thread einfach kommentarlos stirbt nach der ganzen Mühe ist schon sehr schade.

air

08.05.2010, 14:08

Physinetz

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Hmm tut mir leid, aber ich wollte dir nicht auf die Nerven gehn, weil ich irgendwie nicht weitergekommen bin, deshalb hab ich auch nichts mehr geschrieben, damit du nicht mit mir verzweifelst, aber ja trotzdem thx

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