Ergänzungsprüfung FHR in Bayern 2002 - Geometrie

02.05.2010, 19:13

Steph@nK

Ergänzungsprüfung FHR in Bayern 2002 - Geometrie

Hallo Leute

folgende Aufgabenstellung:
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(k|0|k), B(4k|k|k) mit k $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R \ {0} sowie C(-1|-3|0) und D(1|1|-2) gegeben.

Die Aufgabe ist in mehrere Unteraufgaben gegliedert, wobei mir eigentlich nur ein Unterpunkt Probleme bereitet und zwar folgender:

1.4 Durch die Punkte A, B und C ist die Ebene E festgelegt. Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung der Ebene E in Parameter- und in Normalenform. [mögliches Teilergebnis: $\begin{eqnarray*} kx_{1}-3kx_{2}+(8-k)x_{3}-8k=0 \end{eqnarray*}$ ]

Ich bin mir durchaus bewusst wie man eine Parameter bzw Normalenform aufstellt, aber hier habe ich Probleme - ich habe die Lösung zu der Aufgabe, komme aber bei einem Schritt nicht mit, vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen smile

$\begin{eqnarray*} E_{k}: \vec{x} = \vec{a_{k}} + \lambda \vec{A_{k}B_{k}} + \gamma \vec{A_{k}C} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{k}: \vec{x} = \begin{pmatrix} k \\ 0 \\ k\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 4k - k \\ k - 0 \\ k - k\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} -1 - k \\ -3 - 0 \\ 0 - k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{k}: \vec{x} = \begin{pmatrix} k \\ 0 \\ k\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3k \\ k \\ 0\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} -1 - k \\ -3\\ -k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bis zu dieser Zeile(oben drüber) ist mir alles klar - aber jetzt kommt ein Schritt, welchen ich leider beim besten Willen nicht nachvollziehen kann...evtl steh ich auch aufm Schlauch...

$\begin{eqnarray*} E_{k}: \vec{x} = \begin{pmatrix} k \\ 0 \\ k\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} k + 1 \\ 3\\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Erster Vektor bleibt gleich -> klar
Dritter Vektor wird mit -1 multipliziert -> auch klar - wird lesbarer dadurch. Aber das k im zweiten Vektor geht verloren...das versteh ich nicht unglücklich

Der Rest (also aufstellen der Normalenform) ist mit der genannten Paramaterform kein Problem - bei meiner Rechnung bleibt jedoch das k im zweiten Vektor erhalten, wodurch das Aufstellen der Normalenform knackig wird (wegen k²...)

Hat jemand von euch hier nen Tipp für mich? Wäre klasse

Viele Grüße
Stephan

02.05.2010, 20:24

Gualtiero

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RE: Ergänzungsprüfung FHR in Bayern 2002 - Geometrie
Ich sehe es so: der zweite Vektor ist ja ein Spannvektor für die Ebene, und man könnte ihn durch jeden Vektor ersetzen, der von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3k \\ k \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

linear abhängig ist.

Frage zum Überlegen: Sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3k \\ k \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ linear abhängig?

02.05.2010, 20:57

riwe

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RE: Ergänzungsprüfung FHR in Bayern 2002 - Geometrie

Zitat:

Original von Steph@nK
Hallo Leute

folgende Aufgabenstellung:
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(k|0|k), B(4k|k|k) mit k $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R \ {0} sowie C(-1|-3|0) und D(1|1|-2) gegeben.

Die Aufgabe ist in mehrere Unteraufgaben gegliedert, wobei mir eigentlich nur ein Unterpunkt Probleme bereitet und zwar folgender:

1.4 Durch die Punkte A, B und C ist die Ebene E festgelegt. Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung der Ebene E in Parameter- und in Normalenform. [mögliches Teilergebnis: $\begin{eqnarray*} kx_{1}-3kx_{2}+(8-k)x_{3}-8k=0 \end{eqnarray*}$ ]

Ich bin mir durchaus bewusst wie man eine Parameter bzw Normalenform aufstellt, aber hier habe ich Probleme - ich habe die Lösung zu der Aufgabe, komme aber bei einem Schritt nicht mit, vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen smile

das nennt man unglückliche/unklare wahl des/der parameter

mit $\begin{eqnarray*} \mu =\lambda\cdot k \end{eqnarray*}$ wäre dir vermutlich alles klar Augenzwinkern

03.05.2010, 09:39

Steph@nK

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RE: Ergänzungsprüfung FHR in Bayern 2002 - Geometrie

Zitat:

Original von Gualtiero
Ich sehe es so: der zweite Vektor ist ja ein Spannvektor für die Ebene, und man könnte ihn durch jeden Vektor ersetzen, der von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3k \\ k \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

linear abhängig ist.

Frage zum Überlegen: Sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3k \\ k \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ linear abhängig?

Ja, Spannvektor bzw. einer der Richtungsvektoren der Ebene.

Nach meinem Verständnis könnte ich die Richtungsvektoren nach belieben kürzen bzw. erweitern, da hier lediglich die "Richtung" ausschlagebend ist, nicht die Länge des Vektors. Wenn ich es bei der konkreten Aufgabe anwende, kürze ich den zweiten Vektor um k - dadurch entsteht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Zu deiner Frage zum überlegen: Ja, sind linear abhängig, da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3k \\ k \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit -k* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zusammen eine nichttriviale Nullsumme bilden.

03.05.2010, 10:52

Gualtiero

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RE: Ergänzungsprüfung FHR in Bayern 2002 - Geometrie
Richtig. Freude