Lineare Abbildung

02.05.2010, 20:08	NastyNat	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung Meine Frage: Sei V ein K-Vektorraum, W ein K-V.R. mit dim W $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 1 und B Teilmenge von V. Sei $\begin{eqnarray} W^{B} \end{eqnarray}$ der K-V.R. aller Abbildungen von B nach W. Sei außerdem $\begin{eqnarray} \psi: Hom(V,W) \Rightarrow W^{B} \end{eqnarray}$ mit f wird abgebildet auf f eingescränkt auf B. Zu zeigen ist: psi ist genau dann injektiv, wenn B ein Erzeugendensystem ist und psi ist genau dann surjektiv, wenn B linear unabhängig ist. Meine Ideen: Sind die zwei Behauptungen die zu beweisen sind überhaupt richtig?
02.05.2010, 21:22	NastyNat	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut, dann nehme ich an, dass diese Behauptungen so richtig sind. Sei (...) die Mengenklammer. Sei nun psi injektiv, genau dann, wenn kern psi = (0), genau dann, wenn kern psi = ( 0=f aus Hom(v,w): psi(0)=0) nun komme ich nicht weiter... Andererseits ist B Erzeugendensystem, wenn span(B)=V, müsste dann aber die Abbildung nicht surjektiv sein?
03.05.2010, 15:34	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi NastyNat, Zur ersten Frage: Eine Abbildung $\begin{eqnarray} f\in Hom(V,W) \end{eqnarray}$ liegt genau dann im Kern, wenn ihr Bild unter $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ die Null ist. In diesem Falle ist die Null des Bildraums eine Abbildung, welche alle Elemente aus $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ auf die Null abbildet. D.h.: $\begin{eqnarray} f\in Ker(\psi)\Leftrightarrow f(b)=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} b\in B \end{eqnarray}$ Nun arbeite die beiden Richtungen ab. - Wenn $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem ist, welche Abbildungen liegen dann im Kern von $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ? - Wenn $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ kein Erzeugendensystem ist, wie kann ich dann ein nichtriviales Element im Kern von $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ konstruieren? Gruß, Reksilat.

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