Rang, Kern und Bild einer Matrix

02.05.2010, 20:33

Dito

Rang, Kern und Bild einer Matrix

Hallo zusammen,
ich habe ein kleines Problem mit einer Matrix. Zuersteinmal die Aufgabenstellung.

Zitat:

Bestimmen Sie die Zeilennormalform (ZNF) und den Rang der Matrix A. Geben sie außerdem eine Basis von Kern(A) und Bild(A) an.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 & 4 \\ 4 & -6 & 4 & -5\\ -2 & 0 & 1 &7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, ich habe jetzt erstmal den Gauß gemacht und bin auf folgende Form gekommen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich ganz ehrlich bin, weiß ich nur, dass mein Rang 3 ist.
Wie komme ich jetzt auf Kern und Bild der Matrix?
Der Ansatz ist ja Ax = y für das Bild und Ax = 0 für den Kern.

Für die Homogene Lösung komme ich auf
$\begin{eqnarray*} x_H=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die spezielle Lösung für das inhomogene Problem mit
$\begin{eqnarray*} x_I=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ 0 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Heißt das also, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} Basis(Kern(A))=Lin(x_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Basis(Bild(A))=Lin(e_1,e_2,e_4) \end{eqnarray*}$

Oder bin ich da auf dem Holzweg?
Vielen Dank im Voraus
Grüße

02.05.2010, 21:03

Evelyn89

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deine lösung ist leider falsch.
der kern der zur matrix gehörigen linearen abbildung besteht nur aus dem nullvektor.
warum?

das bild besteht aus der linearen hülle der linear unabhängigen spalten der matrix.

weißt du nun wie du vorgehen musst?
falls probleme aufkreuzen, sag bitte wo du genau schwierigkeiten hast.

gruß

02.05.2010, 21:05

Dito

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da ist mein zweites problem...wenn ich den bild-kern satz anwnden will...in welcher dimension ibin ich überhaupt bei einer 3x4 matrix?
Gruß

02.05.2010, 21:09

Evelyn89

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Oh! sorry! war mein fehler. dein kern ist nicht leer, hast recht.
beim kern liegst du dann richtig.
und auch dein bild ist komplett richtig ! Freude

02.05.2010, 21:12

Dito

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achso ich muss einfach die 1,2 und 4 spalte aus meiner matrix nehmen...

da ich ja weiß, dass die linear unabhängig sind...

damit gilt n= dim(Kern) + dim(Bild) = 4 ?

Big Laugh

alles klar danke =)

02.05.2010, 21:15

Evelyn89

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hast du doch auch gemacht ;-)

ja genau, n=4.

03.05.2010, 08:14

Dito

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Ich habe nochmal eine Frage zu dem Thema...
wenn ich auf die Lösung des inhomogenen Problems geekommen bin
hier:

$\begin{eqnarray*} x_I=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ 0 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich dann als Basis immer die Einheitsvektoren als linear unabhängige Vektoren nehmen oder sollte ich lieber die Spaltenvektoren aus der Matrix nehmen? Also hier:
$\begin{eqnarray*} y_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}; y_2=\begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; y_3=\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bei denen ich ja nach dem Gauß auch weiß, dass sie l.u. sind.
Ander gefragt: Kann es zu Problemen führen, wenn ich es mir "einfach" mache und die Einheitsvektoren als Basis nehme (Umformen muss ich ja sowieso um zu sehen, welche Einheitsvektoren ich brauche^.^)?

Gruß

03.05.2010, 09:12

klarsoweit

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Irgendwie geht mir das hier durcheinander. Was sollen jetzt die y_1, y_2 und y_3 sein? Vektoren? Oder Komponenten eines Vektors? verwirrt

04.05.2010, 06:30

Dito

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also meine Matrix ist A.

Ich habe sie umgeformt und den (-1) - "Ergänzungstrick" angewendet. bin dann auf die Lösung
$\begin{eqnarray*} x =\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ 0 \\ y_3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}; \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

gekommen. Jetzt ist meine Frage, ob ich für eine Basis für Bild(A) die Einheitsvektoren e1, e2 und e4 nehmen kann oder ob ich aus meiner Matrix die erste, zweite und vierte Spalte nehmen muss.

sorry und danke =)

Gruß

04.05.2010, 09:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dito
Jetzt ist meine Frage, ob ich für eine Basis für Bild(A) die Einheitsvektoren e1, e2 und e4 nehmen kann oder ob ich aus meiner Matrix die erste, zweite und vierte Spalte nehmen muss.

e4 liegt gar nicht im Bild(A). Im Prinzip mußt du die Spalten der Matrix A nehmen und daraus eine Basis extrahieren, was dann auf die Einheitsvektoren e1, e2 und e3 hinausläuft.

04.05.2010, 12:40

Dito

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Das heißt also, dass meine drei Basisvektoren, die mir das Bild aufspannen gerade

$\begin{eqnarray*} y_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}; y_2=\begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; y_3=\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sind? aber das lässt sich doch auf e1, e2 und e4 zurückführen (weil die dritte Koordinate ja 0 ist) und nicht auf e3. Oder verstehe ich das falsch?

Gruß

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