uneigentliches Integral

02.05.2010, 20:59	Fritze	Auf diesen Beitrag antworten »
uneigentliches Integral Meine Frage: Hallo, laut Skript existiert das Integral $\begin{eqnarray} \int_1^\infty \! \frac{1}{\| x \| ^{\alpha } } \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider wurde nicht erklärt wie man darauf kommt, so dass ich das nicht verstehe, denn ich hätte gesagt, dass das Integral nicht existiert. Mache ich eine Fallunterscheidung und betrachte ich das Integral für positive x so existiert das Integral doch nur für $\begin{eqnarray} \alpha > 1 \end{eqnarray}$ . Das angegebene Integral existiert aber für alle $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Wisst ihr wo mein Denkfehler liegt? Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir dabei weiterhelfen könntet! Vielen Dank!
02.05.2010, 21:21	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast schon recht, das Integral ist nur für $\begin{eqnarray} \alpha > 1 \end{eqnarray}$ endlich. Übrigens machen die Betragsstriche keinen Sinn, bist du dir also sicher, dass wirklich dieses Integral gemeint ist?
02.05.2010, 21:43	Fritze	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, vielen Dank für deine schnelle Antwort! Ja, ich bin mir ganz sicher. Leider wurde diese Frage in einer Zwischenprüfung gestellt (die Antwort, dass das Integral existiert, habe ich in unserem Skript gefunden), und ich habe absolute keine Ahnung wie man auf die Antwort kommt- und habe in ein paar Tagen meine Zwischenprüfung. Oder habe ich vielleicht die Stelle im Skipt falsch verstanden? Da steht: Mit a aus R f: R ohne 0 -> R, x -> $\begin{eqnarray} \| x \| ^{\alpha } \end{eqnarray}$ ist ein Element aus R^loc gegeben. Das bedeutet für mich, dass die Funktion auf ganz R existiert...
02.05.2010, 21:57	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Uff, wie ist denn $\begin{eqnarray} R^{loc} \end{eqnarray}$ definiert? Soll das einfach lokal Riemann-integrierbar heissen?
02.05.2010, 22:12	Fritze	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} R^{loc} \end{eqnarray}$ ist definiert als " Raum der Funktionen f auf X (X Vektorraum), die auf jedem in X enthaltenen kompakten Intervall J $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ X Riemann- integrierbar sind " - also ja. das sind einfach Funktionen, die lokal Riemann- integrierbar sind
02.05.2010, 22:45	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja dann für deine Funktion(-enfamilie) $\begin{eqnarray} \| x \| ^{\alpha }, \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gegeben. In deinem Beispiel ist einfach $\begin{eqnarray} [1,\infty) \end{eqnarray}$ kein kompaktes Intervall.
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02.05.2010, 22:54	Fritze	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ok, vielen Dank!

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