polynom zur berechnung der Inversen einer matrix

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thami Auf diesen Beitrag antworten »
polynom zur berechnung der Inversen einer matrix
Meine Frage:
hallo!

ich sitze an einer Aufgabe,bei der ich einfach nicht weiterkomme und hoffe,dass mir jemand helfen kann.
also: Sei A aus GL(n,K).Zeigen Sie,dass es ein Polynom vom Grad kleiner/gleich n-1 gibt mit p(A)=A^-1

Bestimmen Sie diese Polynom für

A=

und berechnen Sie damit die Inverse von A.

Meine Ideen:
Also,ein Polynom hat ja die Form:

p(x)=a_n*x^n+...+a_1*x+a_0

Dann müsste also gelten:
p(A)=a_n*A^n+...+a_1*A+a_0*I=A^-1

Nur wie gehe ich denn jetzt vor??Ich weiß einfach nicht weiter und wäre dankbar für jede Hilfe!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: polynom zur berechnung der Inversen einer matrix
Vielleicht hilft das hier weiter:
http://bemdev.com/Mathematik/Minimalpolynom.htm
 
 
thami Auf diesen Beitrag antworten »

hmm,also,das habe ich mir auch schon angeguckt,aber ehrlich gesagt nicht wirklich verstanden...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach zu berechnen und liefert dasselbe Verfahren: Das charakteristische Polynom.
Der Algorithmus ist etwas kompliziert beschrieben, letztlich sucht man nur eine Gleichung der Form A(...) = 1 die man durch das Polynom durch Umformen bekommt
thami Auf diesen Beitrag antworten »

ähm,sorry,das hab ich jetzt ned verstanden.. verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wärs wenn du mal mehr schreibst als nur dass du es nicht verstanden hast? Wie wäre es beispielsweise wenn du einmal das charakteristische Polynom ausrechnest? Zumindest das solltest du meinem Beitrag entnehmen können. Du musst schon selbst etwas arbeiten, es bringt nichts wenn man alles bis aufs kleinste dir vorbetet.
Andi24 Auf diesen Beitrag antworten »

ich klinke mich hier mal ein, muss die selbe aufgabe lösen.

Wenn A eine invertierbare nxn Matrix ist ist ihr charac. Polynom vom Grad n und sieht bspw. so aus:



es gilt weiter p(A)=0, d.h.





wenn jetzt durch -a_0 kürze und die Koeffizienten umbenne hab ich ein Polynom der Form



wobei das Polynom jetzt Grad n-1 hat. Reicht das als Beweis?

Gruß
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, was ist dann p(A)? Hattet ihr da einen Satz dazu? (Falls nicht: Überprüfe es konkret mit der gegebenen Matrix A)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Andi24
wenn jetzt durch -a_0 kürze


Was, wenn a_0 = 0 ist? Gut, dann kannst du mit der Inversen von A multiplizieren und schauen, ob a_1 ungleich Null ist. Wenn nicht, dann machst du das gleiche wie vorher, bis du bei einem a_k angekommen ist, das nicht Null ist (wieso geht das?). Wenn du jedoch das Minimalpolynom von A nimmst, dann kann es dir gar nicht passieren, dass a_0 = 0 ist. Wieso? Augenzwinkern
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das passiert sowieso nicht, a0 ist die Determinante und die muss ungleich 0 sein damit man überhaupt eine Inverse berechnen kann
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, da haste recht. Hab ich nicht bedacht.
Andi24 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist der Beweis so wie ich ihn hab ok?!

Gruß
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das passt, wie schon gesagt muss aber erwähnt werden dass a0 != 0 ist.
Andi24 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar danke smile
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