Interpolation und -fehler

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mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolation und -fehler
Hallo,

ich soll zunächst für die Funktion das Interpolationspolynom zu gegebenen Stützwerten bestimmen.
Dies habe ich mit Hilfe des Newton-Schemas gemacht und erhalte
Ich hoffe mal, ich habe darin soweit keinen (Rechen-)fehler?!

Nun soll ich eine obere Schranke für den Interpolationsfehler im Intervall angeben.
Dabei habe ich ein Problem:
Wir haben bisher die Restgliedformel kennen gelernt, mit der man wohl den Fehler noch oben abschätzen kann.
Es gilt:
mit und den Stützstellen .
Aber genau hier liegt mein Problem: Die Restgliedformel darf doch nur auf paarweise verschiedene Stützstellen angewandt werden?!

Wende ich die Formel ohne Berücksichtigung der Bedingung mit den paarweise verschiedenen Stützstellen an, so erhalte ich einen Fehler .
Aber so darf ich das ja eigentlich nicht machen, oder?

Meine Alternatividee: ich wende die Formel nur auf die Stützstellen und an. Aber das darf ich ja eigentlich auch nicht, sonst berechne ich mir ja den Fehler zu einem andern Polynom und nicht zu .
Wenn ich es so rechne, kommt am Ende ein Fehler heraus.

Vielleicht kann mir jedmand weiterhelfen, wie ich das rechnen muss. Ob eine Variante stimmt oder wie ich hier weiterkomme?!

Danke!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation und -fehler
Du musst hier Hermite-Interpolation machen, da auch Ableitungen gegeben sind.
[WS] Polynominterpolation - Theorie

Dazu gibt es auch die passende Fehlerformel:
[WS] Polynominterpolation - Theorie
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation und -fehler
Danke für die Links. Leider steht da nichts über paarweise verschiedene Stützstellen...?

Wie mache ich das eben mit nicht paarweise verschiedenen Stützstellen, also in meinem Fall .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation und -fehler
Doch, genau das steht unter dem Anschnitt Hermiteinterpolation. Augenzwinkern

Vielleicht siehst du mit einem Beispiel klarer: [WS] Polynominterpolation - Beispiele
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das Beispiel habe ich verstanden. Dies beinhaltet ja wie ich das Polynom ausrechne.
Das hatte ich ja auch schon geschafft, auch wenn in meiner ersten Fassung zwei kleine Fehler drin waren. Daher hier nochmal korrigiert:




Mein Problem besteht darin, eine obere Schranke für den Interpolationsfehler im Intervall anzugeben.
Also
Wie mache ich das?

Das Problem mit den paarweise verschiedenen Stützstellen habe ich also nicht beim bestimmen des Polynoms sondern wenn ich den Fehler mit Hilfe der Restgliedformel

abschätzen möchte. Diese Formel gilt doch nur für paarweise verschiedene Stützstellen und die habe ich in meinem Fall ja nicht.

Wie schätze ich also den Fehler



ab?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage mich, ob du liest, was ich dir linke. Schon im ersten Post gab ich dir die Fehlerformel für Hermite, da sind Mehrfachknoten berücksichtigt.

Zitat:
Original von tigerbine




Du hättest dich in dem WS eben noch informieren müssen, was sind. Aber das ist doch wohl nicht zu viel verlangt. unglücklich Zumal man es auch für das IP benutzt


Zitat:
Original von tigerbine


n+1 Knoten,

Die stammen aus:

Zitat:
Original von tigerbine
HIPA

Gegeben sind m-paarweise verschiedene Knoten auf dem Gitter . An den sog. Mehrfachknoten, soll das interpolierende Polynom nicht nur den Wert der Funktion annehmen, sondern auch noch den Wert der Ableitung(en). Somit sieht der Datensatz wie folgt aus:







Gesucht ist nun ein Polynom p von möglichst niedrigem Grad, so dass die Bedingung:



erfüllt ist.


So, vielleicht versuchst du es nun noch einmal. Augenzwinkern
 
 
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich lese ich, was du mir schreibst!!
Ich habe es nur noch nicht wirklich verstanden und daher weiter nachgefragt!
Vielleicht könnte mir ein Beispiel weiterhelfen?!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Beispiel denke ich mir nun nicht aus. Bleiben wir bei deiner Aufgabe. Du hast doch nur 2 Punkte. Wie lauten denn dann nun ? wie lautet N? Augenzwinkern

Ich bin nun erstmal weg, also denk in Ruhe nach. Am Abend komme ich wieder. Wann ist Abgabe?
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Also die i's sind und
und
soweit müsste es stimmen.
Die Frage ist jetzt, was und sind.
Bin mir nicht sicher, aber und ??
Damit wäre dann .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so stimmt das nicht. i ist nur ein Index. Lies nochmal

Zitat:
Original von tigerbine
HIPA

Gegeben sind m-paarweise verschiedene Knoten auf dem Gitter . An den sog. Mehrfachknoten, soll das interpolierende Polynom nicht nur den Wert der Funktion annehmen, sondern auch noch den Wert der Ableitung(en). Somit sieht der Datensatz wie folgt aus:








Wie viele Ableitungen treten denn bei 0 und bei pi auf? Damit hat es was zu tun.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 0 habe ich bis zu f'''(x), bzw. f'''(0) und bei pi bis f'(x), bzw. f'(pi).
Heißt das, dass und ist?
Und damit ?!


und jetzt mal ganz vage weiter:

-->







Kann das stimmen? Ein Polynom 6.Grades?? Hätte jetzt eher gedacht, ich bräuchte was vom Grad 5?!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation und -fehler




Unabhängig ob Mehrfachknoten oder nicht, wir stellen an das IP 6 Bedingungen. D.h. der MaxGrad des IP wird 5 sein.






Und das IP soll ja in sein. Passt also alles. Augenzwinkern Nun zu der Fehlerabschätzung. Da fehlt die Angabe, worauf wir f betrachten. [0, pi]?

Nun mal lustig ableiten.



Nun kennen wir die genaue Stelle nicht. Daher worst-case Abschätzung.^Das Polynom das im Fehler auftritt ist das Knotenpoynom. Das hat immer (mind) einen Grad mehr als das IP. Weil jeder Knoten 1 Faktor wird.



Das würde ich nun nicht ausmultiplizieren. aber damit kann man den Fehler an einer Stelle x aus [0,pi] abschätzen.




Was nun noch berechnet werden muss, ist das eigentliche IP. Grob überblickt macht der Fehler auch Sinn. Wir haben in den Punkt x=0 viel mehr Informationen gesteckt. Daher sollten wir dort (Umgebung) auch "besser approximiert" haben.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation und -fehler
Zitat:
Original von tigerbine




Unabhängig ob Mehrfachknoten oder nicht, wir stellen an das IP 6 Bedingungen. D.h. der MaxGrad des IP wird 5 sein.








ok, soweit kam ich dann ja.

Zitat:
Original von tigerbine

Und das IP soll ja in sein. Passt also alles. Augenzwinkern Nun zu der Fehlerabschätzung. Da fehlt die Angabe, worauf wir f betrachten. [0, pi]?



Ja, [0, pi], das hatte ich in meinem ersten Post zur Frage gesagt. smile

Zitat:
Original von tigerbine

Nun mal lustig ableiten.



Nun kennen wir die genaue Stelle nicht. Daher worst-case Abschätzung.^Das Polynom das im Fehler auftritt ist das Knotenpoynom. Das hat immer (mind) einen Grad mehr als das IP. Weil jeder Knoten 1 Faktor wird.





ok, soweit klar. Das ist auch das Ergebnis, auf das ich komme, wenn ich eine Fehlerabschätzung mit meiner ursprünglichen Formel (Restgliedformel)



mache.

Zitat:
Original von tigerbine

Das würde ich nun nicht ausmultiplizieren. aber damit kann man den Fehler an einer Stelle x aus [0,pi] abschätzen.



Da ich eine obere Schranke für den Fehler im Intervall [0,pi] angeben möchte, muss ich also die Ungleichung



zu diesem verändern, richtig?:



und dann weiter umformen:



Ich definiere mir eine Hilfsfunktion ,
bestimme deren Maxium:


-->
-->

0 und pi fallen als Maxima raus, da h(0)=h(pi)=0 ist und diese beiden Werte außerdem meine Stützstellen sind, also der Wert des Interpolationspolynoms und der Wert der Funktion an diesen Stellen übereinstimmen müssen.



Eingesetzt in

ergibt



Genau diesen Wert bekomme ich auch heraus, wenn ich den Fehler mit Hilfe der Restgliedformel (s.o.) berechne, dabei allerdings die Bedingung, dass die Stützstellen paarweise verschieden sein müssen, außer Betracht lasse. D.h. ich darf diese Bedingung vernachlässigen?!



Zitat:
Original von tigerbine

Was nun noch berechnet werden muss, ist das eigentliche IP.



Das habe ich doch bereits berechnet?!

Zitat:
Original von mathestudi






Zitat:
Original von tigerbine

Grob überblickt macht der Fehler auch Sinn. Wir haben in den Punkt x=0 viel mehr Informationen gesteckt. Daher sollten wir dort (Umgebung) auch "besser approximiert" haben.


An der Stelle x=0 muss der Fehler doch 0 sein, da x=0 eine Stützstelle ist und das Polynom doch genau durch den Punkt läuft!?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation und -fehler
1. Ich meinte, dass in der Umgebung von 0 besser angenähert wird als bei pi.

2. Die ursprüngliche Formel darfst du ja nicht nehmen. Da gibt es keine Doppelknoten. aber die neue ist von der gleichen Bauart. Ist auch klar, weil die Normale IP ja ein Spezialfall der Hermite ist.

3.


Hier kommt es nun darauf an, wie gut du abschätzen willst. Ganz grob nimmt man für jeden Faktor den "worst-case" Fall auf dem Intervall. Ansonsten musst du das Knotenpolynom genauer untersuchen, mit Ableitungen.

4. Das IP habe ich noch nicht nachgerechnet.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation und -fehler
1. ok, klar.

2. d.h. ich schreibe es auf die art und weise deiner formel auf, bekomme zwar das gleiche ergebnis, aber so ist es "richtiger"!?

3. ich will eine obere schranke angeben, also in diesem fall doch den worst-case?!

4. ok, bin mir relativ sicher, dass das stimmen müsste.

vielen dank für deine hilfe und geduld!!! Blumen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation und -fehler
2. Es ist einfach so. Wenn du dich nur auf die Newton-IP beziehst und dann sagst: Ach Gott, nun habe ich halt Mehrfachknoten, was soll es. Ich nehme die Formel dennoch!" Dann ist das falsch. Augenzwinkern Da steckt keine Theorie dahinter und es hätte genauso gut in die Hose gehen können. Ferner muss man ja schon beim IP anders vorgehen. In den Dividierten Differenzen würde man sonst durch 0 teilen. Daher muss als Stichwort kommen:
Hermite-Interpolation. Dann kann man aus der Theorie heraus die Vorschrift für das IP und den Fehler nehmen.

3. Zum Thema Schranke. Ich meinte, es ist am einfachsten jeden Faktor alleine abzuschätzen. Das ist aber .A. ungenauer, als wenn man das Knotenpolynom abschätzt. Da kommt es immer drauf an, was der Gruppenleiter/Prof haben will. Augenzwinkern



ich muss es nun selbst mal noch ausrechnen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation und -fehler




Da fehlt beim zweiten Term das "x". x^4?



code:
1:
2:
3:
hermite-newton=1-0.5*x^2+(-4+pi^2)/(2*pi^4)*x^4 + (8-pi^2)/pi^5*x^4*(x-pi)

expand= 1-.5*x^2-10*x^4/(pi^4)+3/2*x^4/(pi^2)+8*x^5/(pi^5)-x^5/(pi^3)





Heute abend hebe ich mal den Schmierzettel mit dem Schema noch auf. Augenzwinkern
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation und -fehler
das x^4 hatte ich doch?!





Vielen Dank!!!!! Blumen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation und -fehler
Ich hatte deinen ersten Post zitiert. Viel Erfolg weiterhin. Augenzwinkern
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation und -fehler
Ach so, klar. Da war das Polynom noch falsch ;-)
Dankeschön!!
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