Konvergenz Reeler Folgen, Index

03.05.2010, 01:38

Gomik

Konvergenz Reeler Folgen, Index

Hi,
es geht um den Näherungswert einer Folge: "Soll der Fehler (für ein vorgegebenes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ >0) kleiner sein als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ so bestimme man ein (von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängiges) $\begin{eqnarray*} n_{\epsilon} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 10^{-n_\epsilon} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ."
Ich verstehe den Index $\begin{eqnarray*} n_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ nicht. Wie bestimmt man ihn? Was bezweckt er?
Grüsse G

03.05.2010, 03:34

WebFritzi

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RE: Konvergenz Reeler Folgen, Index

Zitat:

Original von Gomik
Ich verstehe den Index $\begin{eqnarray*} n_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ nicht. Wie bestimmt man ihn? Was bezweckt er?

Das ist kein Index. Nur das Epsilon ist hier einer. Sei Epsilon > 0 irgendwie gewählt. Da $\begin{eqnarray*} 10^{-n} \end{eqnarray*}$ monoton fällt und gegen Null konvergiert (klar, oder?), gibt es ein bestimmtes n, ab dem der Ausdruck immer kleiner als Epsilon ist. Dieses n hängt aber von Epsilon ab, denn ist das Epsilon besonders klein, muss man das n besonders groß wählen. Daher sagt man, dass es zu jedem beliebig gewählten $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_\epsilon\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} 10^{-n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} n\ge n_\varepsilon. \end{eqnarray*}$ Insbesondere gilt dann natürlich $\begin{eqnarray*} 10^{-n_\varepsilon} < \varepsilon. \end{eqnarray*}$

Du berechnest diesen Wert, indem du die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 10^{-n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für n löst. Das machst du am besten, indem du den Logarithmus anwendest.

03.05.2010, 05:12

Gomik

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Wie kommt es dass dein Epsilon besser aussieht als meines? verwirrt

;-)
Danke für die Antwort! Ich verstehe es auf jedenfall besser als vorher. Bin nicht ganz sicher, ob ichs 100% geschnallt habe (werde dann wohl nochmals nachfragen).

03.05.2010, 05:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gomik
Wie kommt es dass dein Epsilon besser aussieht als meines? verwirrt

;-)

\varepsilon

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