Zahlentheoretisches II

27.10.2006, 21:50

Menelaos

Zahlentheoretisches II

Wie löst man eigentlich Aufgaben der Form:

Auf welche 3 Ziffern endet die Zahl $\begin{eqnarray*} 9^{9^{9^{9}}} \end{eqnarray*}$ ?

28.10.2006, 00:28

el_studente

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir nicht vorstellen, das es da eine bestimmte Vorgehensweise gibt.

Falls doch, dann wäre das echt krank!!!

28.10.2006, 01:57

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt man mit modulo-Rechnung weiter? Also schauen wir uns mal ein paar Potenzen von 9 an:

9, 81, 729, 6561, 59049, ...

Daraus ließe sich die Behauptung aufstellen:

Die n-te Potenz zur Basis 9, also $\begin{eqnarray*} 9^n \end{eqnarray*}$ besitzt als letze Ziffer entweder die 1 oder die 9.

Zum Rechnen mit Restklassen: http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_%...Modulo-Funktion

Betrachten wir $\begin{eqnarray*} 9^n (mod 10) \end{eqnarray*}$ Dann enspricht die Restklasse der letzen Ziffer.

n = 1: 9 = 9 (mod 10)

n= 2: 81 = 9*9 = 9 (mod 10) * 9 (mod 10) = 9*9 (mod 10) = 1 (mod 10)

n = 3: 729 81*9 = 1 (mod 10) * 9 (mod 10) = 1*9 (mod 10) = 9 (mod 10)

Das könnte man jetzt noch sauber als Beweis formulieren. Aber es fällt gleich noch eine Behauptung auf:

Für n ungerade gilt $\begin{eqnarray*} 9^n \end{eqnarray*}$ = 9 (mod 10)
Für n gerade gilt $\begin{eqnarray*} 9^n \end{eqnarray*}$ = 1 (mod 10)

Beweis ...

Bleibt die Frage: Ist $\begin{eqnarray*} 9^{9^9} \end{eqnarray*}$ gerade oder ungerade? Augenzwinkern

Gruß,
tigerbine

28.10.2006, 10:40

Menelaos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir brauchen ja zunächst nur $\begin{eqnarray*} 9^9 \end{eqnarray*}$ , das wir auch als $\begin{eqnarray*} (10-1)^9 \end{eqnarray*}$ schreiben können.

$\begin{eqnarray*} \binom{9}{0}10^0(-1)^9+\binom{9}{1}10^1(-1)^8+\sum_{i=2}^9 \binom{9}{i}10^i(-1)^{9-i} \end{eqnarray*}$

Jetzt müssen wir irgendwie eine Periodizität mit $\begin{eqnarray*} i,j,k \in N_0 \end{eqnarray*}$ zeigen, sodass gilt

$\begin{eqnarray*} 9^{10i+9}=9^{10i}.9^9=(9^{10})^i.9^9=(j.100+1).9^9=100.k+89 \end{eqnarray*}$

Folglich hat $\begin{eqnarray*} 9^9 \end{eqnarray*}$ die Form $\begin{eqnarray*} 100n+89 \end{eqnarray*}$ und demnach auch $\begin{eqnarray*} 9^{9^{9^{9}}} \end{eqnarray*}$ .

28.10.2006, 12:37

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das Produkt zweier ungerader Zahlen gerade oder ungerade?

Dann könntest du mit meinem ersten Post einen Beweis aufschreiben. Indem du die Beiden Behauptungen z.b. mit folgeständiger Induktion zeigst. Im Grunde steht das da auch schon...

In welchem Zusammenhang stellt sich Dir das Problem denn eigentlich?

Gru?

28.10.2006, 14:06

Menelaos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tigerbine
Ist das Produkt zweier ungerader Zahlen gerade oder ungerade?

Hmm, kA mal sehen Big Laugh

Seien p und q ungerade Zahlen und $\begin{eqnarray*} a, b \in Z \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} p = 2a + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = 2b +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p*q=(2a+1)*(2b+1)=4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab+a+b)+1 \end{eqnarray*}$

Also immer ungerade....

Die Aufgabe stellt sich in gar keinem Zusammenhang, bzw. lediglich allgemeines Interesse.

28.10.2006, 14:07

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau

Dabei muss ich mich entschuldigen, dass ich heute nacht den zusatz: ...die Letzen 3 Ziffern... übersehen habe. Ich habe auf die Frage, was ist die letzte Ziffer, geantwortet.

Sorry

Neue Frage »

Antworten »

Zahlentheoretisches II

Verwandte Themen