Induktionsbeweis von Ungleichungen

27.10.2006, 22:26

Marissa

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Induktionsbeweis von Ungleichungen

Hallo, ich brauche Hilfe bei den zwei Aufgaben die zusammenhängen. Normalerweise kann ich Induktionsbeweise, aber bei Ungleichungen tue ich mich schwer. Den Induktionsanfang für n=1 kriege ich hin. aber schon ind er Formlierung der Behauptung stockts, und im beweis hörts ganz auf. bei ungleichungen muss man doch immer abschätzen, oder? Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?
lg Marissa

27.10.2006, 23:20

tigerbine

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RE: Induktionsbeweis von Ungleichungen
Aufgabe 1

n=1: $\begin{eqnarray*} x_1 = 1, \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x_1 \geq 1 \end{eqnarray*}$ erfüllt

Sei die Behauptung richtig für (n-1). Dann gilt für alle positive reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,...x_{n-1} \end{eqnarray*}$ , die der Bedingung $\begin{eqnarray*} x_1\cdot ...\cdot x_{n-1} = 1 \end{eqnarray*}$ genügen:

$\begin{eqnarray*} x_1+ ...+ x_{n-1} \geq (n-1) \end{eqnarray*}$

Nun kommt der Schritt von (n-1) nach n. Sei also auch $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ positiv reel und $\begin{eqnarray*} x_1\cdot ...\cdot x_n = 1 \end{eqnarray*}$ Was gilt dann für:

$\begin{eqnarray*} x_1+ ...+ x_n \end{eqnarray*}$ ?

28.10.2006, 10:37

Marissa

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danke schonmal für den Ansatz!
$\begin{eqnarray*} x_1+ ...+ x_n \geq n \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} x_1+ ...+ x_n \end{eqnarray*}$ ist ja dann das gleich wie
$\begin{eqnarray*} x_1+ ...+ x_{n-1}+ x_n \end{eqnarray*}$ nach IV
jetzt muss man das abschätzen oder um die andere seite zu beweisen oder? da hörts bei mir nämlich auf...

28.10.2006, 17:44

Marissa

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wie kann ich bei dem beweis weitermachen? ich komm einfach nich weiter...

28.10.2006, 18:59

Mathespezialschüler

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Hallo!
Vielleicht hilft dir ja dies.

Gruß MSS

28.10.2006, 19:05

Dual Space

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RE: Induktionsbeweis von Ungleichungen

Zitat:

Original von tigerbine
Nun kommt der Schritt von (n-1) nach n. Sei also auch $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ positiv reel und $\begin{eqnarray*} x_1\cdot ...\cdot x_n = 1 \end{eqnarray*}$

Hier ist übrigens die Schwierigkeit der Aufgabe, denn diese Bedingung ist beim Induktionsschritt auf alle Fälle nichttrivial.

@Marissa: Willkommen

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im Board und Grüße an die MLU. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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28.10.2006, 19:15

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Dual Space
Hier ist übrigens die Schwierigkeit der Aufgabe, denn diese Bedingung ist beim Induktionsschritt auf alle Fälle nichttrivial.

Was genau meinst du damit?

Gruß MSS

28.10.2006, 19:27

Dual Space

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Dual Space
Hier ist übrigens die Schwierigkeit der Aufgabe, denn diese Bedingung ist beim Induktionsschritt auf alle Fälle nichttrivial.

Was genau meinst du damit?

Ich denke Arthur hatte das gleiche im Hinterkopf, als er das gepostet hat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

MSS: Vielleicht klang meine Äußerung auch einwenig übertrieben ... sagen wir es mal so: Im vergleich zu "einfachen Induktionen", wo es keine zusätzliche von n abhängige Bedingung gibt, muss man hier Vorsicht walten lassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2006, 19:34

Mathespezialschüler

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Achso, ok. Hab mich etwas gewundert, weil das von oben sich so angehört hat, als wolltest du $\begin{eqnarray*} x_1\cdot\ldots\cdot x_n=1 \end{eqnarray*}$ herleiten. Aber das ist ja ne Voraussetzung ...

Gruß MSS

28.10.2006, 19:48

Marissa

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ich hab mir das andere Beispiel durchlesen, bin aber noch ein bisschen verwirrt. bei der aufgabe ist ja viel mehr vorangenommen. das kann ich ja nicht wirklich verwenden, oder? die erklärung im Induktionsschritt hab ich da auch nicht ganz verstanden. kann das jemand nocheinmal tun?

28.10.2006, 19:53

Mathespezialschüler

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Die Voraussetzungen $\begin{eqnarray*} x_1<1, x_2>1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1+x_2>1+x_1\cdot x_2 \end{eqnarray*}$ sind überflüssig und außerdem nur für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ angegeben. Das kannst du also getrost vernachlässigen. Du sollst dann die Induktionsvoraussetzung einfach auf die $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Zahlen $\begin{eqnarray*} x_2,\ldots,x_{n-1},(x_1\cdot x_n) \end{eqnarray*}$ anwenden. Was verstehst du daran nicht?

Gruß MSS

28.10.2006, 20:05

Marissa

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also wäre das dann so:
$\begin{eqnarray*} x_1+ ...+ x_{n-1}+ x_n \end{eqnarray*}$
und dann für $\begin{eqnarray*} x_1+ ...+ x_{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x_1\cdot x_n) \end{eqnarray*}$ einsetzen?
nee oder...sry steh gerade wirklich auf der leitung...normalerweise fallen mir die beweise nicht schwer, aber bei dem hab ich echt probleme...

28.10.2006, 20:12

Mathespezialschüler

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Es gilt:

$\begin{eqnarray*} x_2\cdot\ldots\cdot x_{n-1}\cdot (x_1\cdot x_n)=1 \end{eqnarray*}$ ,

also nach Induktionsvoraussetzung:

$\begin{eqnarray*} x_2+\ldots+x_{n-1}+x_1\cdot x_n\geq n-1 \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt machst du weiter ...

Gruß MSS

28.10.2006, 20:44

Marissa

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das würd ich zugern tun...wenn ich wüsste wie...wie bist du auf
$\begin{eqnarray*} (x_1\cdot x_n) \end{eqnarray*}$ , gekommen?

28.10.2006, 20:50

Mathespezialschüler

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Wie meinst du die Frage? Warum das gilt oder wie man auf diese Idee kommt? Die Idee stammt aus dem anderen Thread ...

Gruß MSS

28.10.2006, 21:11

Marissa

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ich meinte das warum das gilt...
wie kann man dann weitermachen, ich komm noch nicht allein voran...bitte hilf mir nochmal auf die sprünge...!
lg

28.10.2006, 21:29

Mathespezialschüler

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Nach Voraussetzung gilt für $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Zahlen $\begin{eqnarray*} z_1,\ldots, z_{n-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_1\cdot\ldots\cdot z_{n-1}=1 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} z_1+\ldots+z_{n-1}\geq n-1 \end{eqnarray*}$ .

Ich habe einfach $\begin{eqnarray*} z_1=x_2,\ldots z_{n-2}=x_{n-1}, z_{n-1}=x_1\cdot x_n \end{eqnarray*}$ gewählt. Die Ungleichung oben ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} x_2+\ldots+x_{n-1}+1+x_1\cdot x_n\geq n \end{eqnarray*}$ .

Du willst

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+\ldots+x_{n-1}+x_n\geq n \end{eqnarray*}$

beweisen. Wenn du zeigst, dass $\begin{eqnarray*} x_1+x_n\geq 1+x_1\cdot x_n \end{eqnarray*}$ gilt, dann bist du fertig. (Du musst übrigens noch den Induktionsanfang machen!) Wie das geht, siehst du im anderen Thread ...

Gruß MSS

29.10.2006, 09:29

Marissa

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danke schön für die Hilfe, das hat mir doll weitergeholfen!!!

29.10.2006, 10:52

Dual Space

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Achso, ok. Hab mich etwas gewundert, weil das von oben sich so angehört hat, als wolltest du $\begin{eqnarray*} x_1\cdot\ldots\cdot x_n=1 \end{eqnarray*}$ herleiten. Aber das ist ja ne Voraussetzung ...

Ja genau. Hatte ein solches Missverständniss schon fast befürchtet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.10.2006, 14:17

klarsoweit

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Eine andere Beweisvariante geht so:

Es gelte für ein n aus N:
$\begin{eqnarray*} x_1 \cdot \ldots \cdot x_n = 1 \Rightarrow x_1 + \ldots + x_n \geq n \end{eqnarray*}$

(I) Sei nun $\begin{eqnarray*} x_1 \cdot \ldots \cdot x_n \cdot x_{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$
Es gibt ein i mit x_i >= 1 O.B.d.A sei dies x_1.
Dann gibt es ein epsilon >= 0 mit $\begin{eqnarray*} x_1 = (1 + \epsilon)^n \end{eqnarray*}$

x_1 in (I) eingesetzt ergibt:
$\begin{eqnarray*} ((1 + \epsilon) \cdot x_2) \cdot \ldots \cdot ((1 + \epsilon) \cdot x_{n+1}) = 1 \end{eqnarray*}$

Das sind n Faktoren und man kann daher die IV verwenden. Also folgt:
$\begin{eqnarray*} (1 + \epsilon) \cdot x_2 + \ldots + (1 + \epsilon) \cdot x_{n+1} \geq n \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} x_2 + \ldots + x_{n+1} \geq \frac{n}{1+\epsilon} \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + \ldots + x_{n+1} \geq \frac{n}{1+\epsilon} + (1+\epsilon)^n \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + \ldots + x_{n+1} \geq \frac{n+(1+\epsilon)^{n+1}}{1+\epsilon} \end{eqnarray*}$
Jetzt noch Bernoullische Ungleichung und dann ist man schon da.
Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2006, 18:09

Dual Space

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Dual Space
Hier ist übrigens die Schwierigkeit der Aufgabe, denn diese Bedingung ist beim Induktionsschritt auf alle Fälle nichttrivial.

Was genau meinst du damit?

Max, mir ist grad aufgefallen, dass ich dir noch eine Antwort schulde. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also erfahrungsgemäß wird bei dieser Aufgabe oft folgender Fehler gemacht:

Abkürzend bezeichne ich die Bedingung $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n x_i=1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(n) \end{eqnarray*}$ und die Bedingung $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_i\geq n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S(n) \end{eqnarray*}$ .

Die Behauptung lautet in dieser Notation:

$\begin{eqnarray*} P(n)~\Rightarrow~S(n) \end{eqnarray*}$

Im Induktionsbeweis ist nun zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} (P(n)\Rightarrow S(n))~\Rightarrow~(P(n+1)\Rightarrow S(n+1)) \end{eqnarray*}$

Doch anstelle dessen versuchen "Anfänger" oft nachzuweisen, dass

$\begin{eqnarray*} (P(n)\Rightarrow S(n))~\Rightarrow~(P(n+1)\wedge S(n+1)) \end{eqnarray*}$

was natürlich nur für $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=1 \end{eqnarray*}$ wahr ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2006, 19:55

Mathespezialschüler

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Ja, hatte mir schon sowas gedacht, aber ich dachte dann, dass du das nicht meinst, weil es zu offensichtlich ist.

Gruß MSS

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