Induktionsbeweis von Ungleichungen

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Marissa Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis von Ungleichungen
Hallo, ich brauche Hilfe bei den zwei Aufgaben die zusammenhängen. Normalerweise kann ich Induktionsbeweise, aber bei Ungleichungen tue ich mich schwer. Den Induktionsanfang für n=1 kriege ich hin. aber schon ind er Formlierung der Behauptung stockts, und im beweis hörts ganz auf. bei ungleichungen muss man doch immer abschätzen, oder? Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?
lg Marissa
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis von Ungleichungen
Aufgabe 1

n=1: also erfüllt

Sei die Behauptung richtig für (n-1). Dann gilt für alle positive reelle Zahlen, die der Bedingung genügen:




Nun kommt der Schritt von (n-1) nach n. Sei also auch positiv reel und Was gilt dann für:

?
 
 
Marissa Auf diesen Beitrag antworten »

danke schonmal für den Ansatz!


also ist ja dann das gleich wie
nach IV
jetzt muss man das abschätzen oder um die andere seite zu beweisen oder? da hörts bei mir nämlich auf...
Marissa Auf diesen Beitrag antworten »

wie kann ich bei dem beweis weitermachen? ich komm einfach nich weiter...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Vielleicht hilft dir ja dies.

Gruß MSS
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis von Ungleichungen
Zitat:
Original von tigerbine
Nun kommt der Schritt von (n-1) nach n. Sei also auch positiv reel und

Hier ist übrigens die Schwierigkeit der Aufgabe, denn diese Bedingung ist beim Induktionsschritt auf alle Fälle nichttrivial.


@Marissa: Willkommen im Board und Grüße an die MLU. Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Hier ist übrigens die Schwierigkeit der Aufgabe, denn diese Bedingung ist beim Induktionsschritt auf alle Fälle nichttrivial.

Was genau meinst du damit?

Gruß MSS
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Dual Space
Hier ist übrigens die Schwierigkeit der Aufgabe, denn diese Bedingung ist beim Induktionsschritt auf alle Fälle nichttrivial.

Was genau meinst du damit?

Ich denke Arthur hatte das gleiche im Hinterkopf, als er das gepostet hat. Augenzwinkern


MSS: Vielleicht klang meine Äußerung auch einwenig übertrieben ... sagen wir es mal so: Im vergleich zu "einfachen Induktionen", wo es keine zusätzliche von n abhängige Bedingung gibt, muss man hier Vorsicht walten lassen. Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ok. Hab mich etwas gewundert, weil das von oben sich so angehört hat, als wolltest du herleiten. Aber das ist ja ne Voraussetzung ...

Gruß MSS
Marissa Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mir das andere Beispiel durchlesen, bin aber noch ein bisschen verwirrt. bei der aufgabe ist ja viel mehr vorangenommen. das kann ich ja nicht wirklich verwenden, oder? die erklärung im Induktionsschritt hab ich da auch nicht ganz verstanden. kann das jemand nocheinmal tun?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Die Voraussetzungen und sind überflüssig und außerdem nur für angegeben. Das kannst du also getrost vernachlässigen. Du sollst dann die Induktionsvoraussetzung einfach auf die Zahlen anwenden. Was verstehst du daran nicht?

Gruß MSS
Marissa Auf diesen Beitrag antworten »

also wäre das dann so:

und dann für
einsetzen?
nee oder...sry steh gerade wirklich auf der leitung...normalerweise fallen mir die beweise nicht schwer, aber bei dem hab ich echt probleme...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt:

,

also nach Induktionsvoraussetzung:

.

Und jetzt machst du weiter ...

Gruß MSS
Marissa Auf diesen Beitrag antworten »

das würd ich zugern tun...wenn ich wüsste wie...wie bist du auf
, gekommen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du die Frage? Warum das gilt oder wie man auf diese Idee kommt? Die Idee stammt aus dem anderen Thread ...

Gruß MSS
Marissa Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte das warum das gilt...
wie kann man dann weitermachen, ich komm noch nicht allein voran...bitte hilf mir nochmal auf die sprünge...!
lg
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Voraussetzung gilt für Zahlen mit die Ungleichung

.

Ich habe einfach gewählt. Die Ungleichung oben ist äquivalent zu

.

Du willst



beweisen. Wenn du zeigst, dass gilt, dann bist du fertig. (Du musst übrigens noch den Induktionsanfang machen!) Wie das geht, siehst du im anderen Thread ...

Gruß MSS
Marissa Auf diesen Beitrag antworten »

danke schön für die Hilfe, das hat mir doll weitergeholfen!!!
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Achso, ok. Hab mich etwas gewundert, weil das von oben sich so angehört hat, als wolltest du herleiten. Aber das ist ja ne Voraussetzung ...

Ja genau. Hatte ein solches Missverständniss schon fast befürchtet. Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Eine andere Beweisvariante geht so:

Es gelte für ein n aus N:


(I) Sei nun
Es gibt ein i mit x_i >= 1 O.B.d.A sei dies x_1.
Dann gibt es ein epsilon >= 0 mit

x_1 in (I) eingesetzt ergibt:


Das sind n Faktoren und man kann daher die IV verwenden. Also folgt:

<==>

<==>

<==>

Jetzt noch Bernoullische Ungleichung und dann ist man schon da.
Augenzwinkern
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Dual Space
Hier ist übrigens die Schwierigkeit der Aufgabe, denn diese Bedingung ist beim Induktionsschritt auf alle Fälle nichttrivial.

Was genau meinst du damit?


Max, mir ist grad aufgefallen, dass ich dir noch eine Antwort schulde. Augenzwinkern

Also erfahrungsgemäß wird bei dieser Aufgabe oft folgender Fehler gemacht:

Abkürzend bezeichne ich die Bedingung mit und die Bedingung mit .

Die Behauptung lautet in dieser Notation:



Im Induktionsbeweis ist nun zu zeigen, dass



Doch anstelle dessen versuchen "Anfänger" oft nachzuweisen, dass



was natürlich nur für wahr ist. Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hatte mir schon sowas gedacht, aber ich dachte dann, dass du das nicht meinst, weil es zu offensichtlich ist.

Gruß MSS
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