induzierte Metrik

03.05.2010, 10:52

datAnke

induzierte Metrik

Hallo und schon vielen Dank,

Aufgabe:
Seien
$\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
a<b. Seien weiterhin
$\begin{eqnarray*} C([a,b])=\left\{ f : [a,b] \to \mathbb R | f stetig \right\} \end{eqnarray*}$
versehen mit der durch die Supremumsnorm induzierten Metrik, d.h.
$\begin{eqnarray*} d(f,g)=sup_{x\in \left[a,b\right] } | f(x)-g(x) | \end{eqnarray*}$
und R versehen mit der üblichen Metrik

Zeigen Sie, ds die durch
$\begin{eqnarray*} I_1 : f \to \int_a^b \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_2 : f \to f(\frac{2a+b}{3} ) \end{eqnarray*}$

definierte Funktionen
$\begin{eqnarray*} I_1,I_2: C([a,b])\to \mathbb R \end{eqnarray*}$
stetig sind.

ich weiss nicht so recht was ich mit der induzierten Metrik machen d(f.g) soll
wenn ich g genauso bilde wie f dann dann kommt ja immer null raus, oder sind das dann andere a,b bei g verwirrt

danke
datAnke

03.05.2010, 11:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: induzierte Metrik

Zitat:

Original von datAnke
wenn ich g genauso bilde wie f dann dann kommt ja immer null raus

Wie willst du denn g bilden? Und wobei soll Null rauskommen?

Es geht hier doch um eine Funktion (beispielsweise I_1), die jeder über [a, b] stetigen Funktion eine reelle Zahl zuordnet. Und du mußt zeigen, daß diese Funktion I_1 wiederum stetig ist.

03.05.2010, 12:46

datAnke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: induzierte Metrik
ach, ich weiss es absolut nicht. irgendwie habe ich nicht nur ein brett vor dem kopf siondern einen ganzenb wald

kleinen tipp bitte

danke
anke

03.05.2010, 13:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: induzierte Metrik
Also was nun die Funktion I_1 macht, ist hoffentlich verstanden, oder?
Und jetzt muß du zeigen, daß diese Funktion stetig ist. Und da wäre es doch ganz gut, wenn du mal hinschreiben könntest, was da konkret laut Definition zu tun ist.

03.05.2010, 14:44

datAnke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: induzierte Metrik
danke erstmal klarsoweit,

I_1 ist stetig, weil diff'bar,

I_2 sieht so seltsam aus,

hmm danke
anke

04.05.2010, 09:16

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: induzierte Metrik

Zitat:

Original von datAnke
I_1 ist stetig, weil diff'bar,

Das mit der Differenzierbarkeit müßtest du erstmal nachweisen.

Zitat: