Verschoben! Extremwert: Verhältnis der Volumina

03.05.2010, 15:47

Daniel1096

Extremwert: Verhältnis der Volumina

Meine Frage:
Hallo!

Konnte leider in den Extremwertbeispielen nichts passendes finden:

.) Einem Drehkegel mit h=2r soll das volumsgrößte, gerade, quardratische Prisma eingeschrieben werden. Berechne das Verhältnis der Volumina.

Meine Ideen:
HB: $\begin{eqnarray*} V=G*h \end{eqnarray*}$ -> max.

NB: $\begin{eqnarray*} (V= r²*\pi * h)/3 \end{eqnarray*}$

h= 2r--> in NB einsetzen--> $\begin{eqnarray*} (V= (h/2)²*\pi * h)/3 \end{eqnarray*}$ -->
$\begin{eqnarray*} 3V= (h/2)²*\pi * h) \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} 3V/\pi= h² \end{eqnarray*}$

--> in Hb einsetzen: $\begin{eqnarray*} V=G*\sqrt{3V/\pi} \end{eqnarray*}$

--> 1. Ableitung: $\begin{eqnarray*} V'(h)= (1/2)* ( 3V/\pi)^{1/2} = 0 \end{eqnarray*}$

stimmt das bis jetzt?

03.05.2010, 16:21

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwert: Verhältnis der Volumina

Zitat:

Original von Daniel1096
stimmt das bis jetzt?

Nö!

Für die Formulierung der Nebenbedingung wirst Du den Strahlensatz benötigen!

03.05.2010, 16:39

Daniel1096

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwert: Verhältnis der Volumina
V1: V2 = h1: h2 ?? noch ein Tipp bitte geschockt

03.05.2010, 16:59

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwert: Verhältnis der Volumina

Zitat:

Original von Daniel1096
V1: V2 = h1: h2 ?? noch ein Tipp bitte geschockt

1. Mach Dir ne Skizze!

2. Sei 2x die Kantenlänge der Quadratseite des Prismas die, in der kreisförmigen Grundfläche des Kegels liegt und sei y die Höhe des Prismas. Dann lautet Deine Zielfunktion:

$\begin{eqnarray*} V(x,y)=4x^2y. \end{eqnarray*}$

Der Strahlensatz liefert nun die Aussage:

$\begin{eqnarray*} \frac rx=\frac h{h-y}. \end{eqnarray*}$

Dies kannst Du nach y auflösen und in Deine Zielfunktion einsetzen, die dann nur noch von x abhängt.

03.05.2010, 18:07

Daniel1096

Auf diesen Beitrag antworten »

ok... : $\begin{eqnarray*} \frac{r}{x}= \frac{h}{h-y} \end{eqnarray*}$ -->

$\begin{eqnarray*} \ hr-hy=hx \end{eqnarray*}$ --> r= h/2 einsetzen--> $\begin{eqnarray*} \ 1-x= y \end{eqnarray*}$

In $\begin{eqnarray*} 4x²*y \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} 4x²*(1-x)= 4x²-4x³ \end{eqnarray*}$ --> 1. Ableitung: V'(y)= 8x-12x²=0

--> x= 0,6666..

Kann nicht ganz stimmen oder? unglücklich

..was soll ich danach machen? ich brauch doch das Verhältnis zwischen den Volumina?
Da brauch ich doch auch das vom Kegelstumpf oder?

danke schonmal..

03.05.2010, 19:09

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Daniel1096
ok... : $\begin{eqnarray*} \frac{r}{x}= \frac{h}{h-y} \end{eqnarray*}$ -->

$\begin{eqnarray*} \ hr-hy=hx \end{eqnarray*}$ --> r= h/2 einsetzen--> $\begin{eqnarray*} \ 1-x= y \end{eqnarray*}$

Kann nicht ganz stimmen oder? unglücklich

Wenn Du Dich mal bemühen würdest richtig zu rechnen, dann könnte das eventuell noch was werden...

03.05.2010, 19:41

Daniel1096

Auf diesen Beitrag antworten »

ok... $\begin{eqnarray*} hr-hy= hr \end{eqnarray*}$ --> r= h/2 einsetzen--> $\begin{eqnarray*} \frac{h}{2} -x=y \end{eqnarray*}$ ??

dann eingesetzt: $\begin{eqnarray*} 4x²*(\frac{h}{2}-x)= \frac{4x³h}{2}- 4x³ \end{eqnarray*}$

1.Ableitung: $\begin{eqnarray*} (1/2)* 4x² - 12x²=0 \end{eqnarray*}$

kann auch nicht stimmen, tut mir leid, ich kriegs wirklich nicht hin..

03.05.2010, 20:30

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Daniel1096
ok... $\begin{eqnarray*} hr-hy= hr \end{eqnarray*}$ --> r= h/2 einsetzen--> $\begin{eqnarray*} \frac{h}{2} -x=y \end{eqnarray*}$ ??

dann eingesetzt: $\begin{eqnarray*} 4x²*(\frac{h}{2}-x)= \frac{4x³h}{2}- 4x³ \end{eqnarray*}$

1.Ableitung: $\begin{eqnarray*} (1/2)* 4x² - 12x²=0 \end{eqnarray*}$

kann auch nicht stimmen, tut mir leid, ich kriegs wirklich nicht hin..

Oh weh...

Also:

Zielfunktion:

$\begin{eqnarray*} V(x,y)=4x^2y \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung laut Strahlensatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{r}{x}= \frac{h}{h-y}\Rightarrow y=h-\frac{xh}r \end{eqnarray*}$

Einsetzen in Zielfunktion:

$\begin{eqnarray*} V(x)=4hx^2-\frac{4h}rx^3 \end{eqnarray*}$

Untersuchung der Ableitung liefert Extremstelle für $\begin{eqnarray*} x=\frac 23 r \end{eqnarray*}$

Das Verhältnis zwischen Radius und Höhe des Kegels ist dabei irrelevant.

04.05.2010, 14:29

Daniel1096

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, das umformen nach y hab ich verstanden..

aber wie kommst du nach dem 0 setzen der 1.Ableitung auf $\begin{eqnarray*} x= \frac{2}{3}r \end{eqnarray*}$ ?

kannst du mir vl. den Rechenweg erklären? tut mir leid aber ich komm nach mehrmaligem rechnen auf was anderes traurig

05.05.2010, 12:35

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} V'(x)=8hx-\frac{12h}r x^2 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} V'(x)=0\Leftrightarrow 4hx\cdot 2r=4hx\cdot 3x~\ldots \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Verschoben! Extremwert: Verhältnis der Volumina

Verwandte Themen