Matrixbestimmung bzgl. Basis

03.05.2010, 14:18

tempo123

Matrixbestimmung bzgl. Basis

Hallo alle zusammen,

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabenstellung (teil b und c):

Gegeben sei die lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} f : M (2,2) \Rightarrow M(2,2), f(A) = A\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der Basis

$\begin{eqnarray*} <br /> \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ von M(2,2).

b) Was ist die Matrix von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis aus a) ?

Hier ist ja die Matrix A nicht gegeben und wir haben hier keine Standardbasis.

Was muss ich denn tun?
ich hätte folgendes gemacht:

1) f(1 0; 0 0) = (1 0; 0 0)*(1 2; 3 4) = (1 2; 0 0)
2) - 4) dann mit den anderen Matrizen der Basis.

Es wäre super, wenn jemand um Rat wüsste.

03.05.2010, 14:37

WebFritzi

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RE: Matrixbestimmung bzgl. Basis

Zitat:

Original von tempo123
ich hätte folgendes gemacht:

1) f(1 0; 0 0) = (1 0; 0 0)*(1 2; 3 4) = (1 2; 0 0)

Richtig. Wie ist denn jetzt die Darstellung von (1 2;0 0) bezüglich der gegebenen Basis (als Linearkombination)?

03.05.2010, 14:58

tempo123

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 1\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder nicht ?

Dann erhalte ich, wenn ich die Bilder bzgl. Aller Basenglieder berechne, folgende (4,4) Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das kann ja nicht sein, oder ? Ich sollte ja eine (2,2) Matrix erhalten, oder mache ich da einen Denkfehler?
Verknüpfung von M(2,2) mit M(2,2) ergibt ebenfalls eine M(2,2) Matrix.

03.05.2010, 15:14

WebFritzi

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Zitat:

Original von tempo123
Dann erhalte ich, wenn ich die Bilder bzgl. Aller Basenglieder berechne, folgende (4,4) Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das kann ja nicht sein, oder?

Doch, genau so ist das! Freude

Was du da von (2,2)-Matrizen faselst, verstehe ich nicht.

03.05.2010, 15:38

tempo123

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Okidoki, dann habe ich wohl doch richtig argumentiert;

jetzt muss ich einfach die Inverse dieser Matrix A berechnen, korrekt?

also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

soweit mittels Gaussverfahren transformieren, bis links die Einheitsmatrix des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ steht, korrekt ?

03.05.2010, 15:40

WebFritzi

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Wieso fragst du das? Sei dir doch mal ein bisschen sicherer anstatt bei jedem Pups nachzufragen. Augenzwinkern

03.05.2010, 15:43

tempo123

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OK:

Wissen ist Macht... ICH WEISS ALLES Big Laugh

03.05.2010, 16:02

tempo123

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Hier noch die Inverse für diejenigen, die ebenfalls über ein ähnliches Problemchen stossen sollten:

$\begin{eqnarray*} M^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & \frac{3}{2} & 0 & 0 \\ 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & \frac{3}{2}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.05.2010, 16:11

WebFritzi

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Finde ich sehr anständig von dir, dass du die noch postest. Freude

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