Punkte in der Gaußschen Zahlenebene

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mathe-ass (naja...) Auf diesen Beitrag antworten »
Punkte in der Gaußschen Zahlenebene
Bitte mehr Sorgfalt bei der Titelwahl.
Keine Hilferufe.
Das ist unverständlich: "Punkte bestimmten Gaußsche Zahlenebene - Hilfe!" --> geändert



Meine Frage:
Die Aufgabe:
Für welche Punkte der Gaußschen Zahlebene gilt
a) 0 < V2lm(z) < /z/
b) /z + 4i - 3/ = 3
c) /z + 2 - i/ >_ 2
d) 1:z + 1:z* = 1
(Erläuterung: /z/ damit ist der Betrag gemeint; V ist Wurzelzeichen;
>_ damit meine ich größergleich)

Meine Ideen:
So und ich weiß nicht, wie ich überhaupt anfangen soll, also den Ansatz und dann den Rechenweg. Kann mir jemand helfen? Übermorgen steht die Klausur an!!
rad238 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punkte bestimmten Gaußsche Zahlenebene - Hilfe!
Hallo mathe-ass (naja...),

bin mir nicht sicher, solche Aufgaben hatten wir nie... Ist Gaußsche Zahlenebene das gleiche wie komplexe Zahlenebene? Dann vielleicht so:

... Schreibweise: sqrt() bedeutet bei mir Wurzel.

zu a)

Schreib doch mal für z = x + iy. Dann steht da doch:

0 < sqrt(2) y < sqrt(x²+y²)

Das kann man aufteilen in 2 Teile:

1) 0 < sqrt(2) y
2) sqrt(2) y < sqrt(x²+y²)

Und jetzt nur noch nach y auflösen...

zu b)

Substituiere doch mal (z+4i-3) durch ein c. Dann steht da:

|c| = 3

Also ist c = ... Wenn Du c hast, löst Du die Gleichung

c = z+4i-3

nach z auf...

zu c)

genauso wie b)

zu d)

Wenn man das Ergebnis kennt, geht es vielleicht auch einfacher, aber ich habe einfach die Brüche gleichnamig gemacht und zusammengefasst. Dann wieder wie bei a) z=x+iy ersetzen und dann... für die Teile mit x ein Binom bilden, dann alles auf die Kreisgleichung bringen.

Alles klar? Oder habe ich Frage falsch verstanden?

Viel Erfolg,
Andreas
mathe-ass (naja...) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punkte bestimmten Gaußsche Zahlenebene - Hilfe!
Hallo rad238, erstmal vielen dank für deine hilfe!

Ich habe mich mal rangemacht und die aufgaben nacheinander versucht, durchzurechnen. Bin auf folgendes gestoßen:

a) 0 < V(2)lm(z) < /z/
z = x + yi
0 < V(2)y < V(x^2 + y^2) - dazu eine Frage: lm(z) kann man durch y ersetzen?
Aufteilen:
1) 0 < V(2)y
2) V(2)y < V(x^2 + y^2) /( )^2 - so, hier komme ich nicht weiter, ich kann doch die Wurzel aus x und y quadrat nicht einfach quadrieren, oder? Wie rechne ich hier weiter?
Und kommt bei 1) dann y > 0 raus, da ich durch V(2) auf beiden Seiten teilen kann?

b) hier bekomme ich raus: z1= 8; z2= -2;
das habe ich mit der abc-formel ausgerechnet. muss ich am schluss die zahlen eigentlich nicht ganz schreiben, also bei x + yi das x und das y benennen, oder reicht das aus?

c) hier bekomme ich raus: z1= -o,25; z2= -3,75

d) hier hab ich was verkehrt gemacht, aber ich weiß nicht, was:
1/z + 1/z* = 1
z*/zz* + z/zz* = 1
(z*+z)/zz* = 1
z* + z = zz*
x - yi + x + yi = (x+yi)(x-yi)
x^2 = x^2 + y^2
y = 0;
das kann doch nicht stimmen, oder?
nochmal danke.
rad238 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punkte bestimmten Gaußsche Zahlenebene - Hilfe!
Hallo mathe-ass (naja...)!

Grundsätzlich:
Ich bekomme bei allen 4 Aufgaben unendliche viele Lösungen raus. So wie ich die Aufgaben verstehe, geht es darum diese unendlich großen Lösungsmengen zu beschreiben (durch eine Gleichung oder evt. eine Zeichnung), nicht darum zwei diskrete Punkte zu berechnen.
Also entweder wir sprechen unterschiedliche Sprachen, oder mindestens einer von uns... Beantworte doch bitte mal meine Frage aus meinem ersten Post: „Ist Gaußsche Zahlenebene das gleiche wie komplexe Zahlenebene?“ Ich sehe das so:
z = x + iy
Re{z} = x bezeichnet den Realteil von z.
Im{z} = y bezeichnet den Imaginärteil von z.

a)
1) Ja, Im{z}=y, und y>0 kommt raus.
2) Klaro kannst Du einfach quadrieren! sqrt(x²+y²) ist ohnehin immer positiv.

b)
Ich fürchte, das ist evt. falsch. Schreib doch bitte mal die ganze Rechnung auf! Was ist denn Deine Lösung für |c|=3 ? Ersetze doch mal c = v+iu. Dann ist |c| = sqrt(u²+v²). Also u²+v²=3². Das ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius r=3. Äquivalent kann man auch schreiben: c = 3 exp(i*w), mit 0<=w<2pi. Ich weiß nicht, wie Ihr das macht, das muss aber der Lehrer im Unterricht irgendwann mal gesagt haben. Warst Du evt. krank? Vielleicht kann Dir da ein Klassenkamerad besser helfen als ich.

c)
Genauso wie bei b)

d)
Das sieht fast gut aus.^^ Aber Du hast einen kleinen Rechenfehler: x-iy+x+iy == x² ???! Das musst Du korrigieren und dann weiter wie schon beschrieben.

Viel Glück(!) bei Deiner Klausur,
Andreas
mathe-ass (naja...) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punkte bestimmten Gaußsche Zahlenebene - Hilfe!
hallo, danke für die hilfe.

also bei a) habe ich jetzt bei
1) y > 0 wie schon gesagt und bei
2) y < x , dann wäre die lösung also:
x > y > 0 - kann das sein?

bei b)

also ich habe gerechnet:
/z + 4i - 3/ = 3
/c/ = 3
V((z-3)^2 + (4i)^2) = 3 , da ich quasi 2-3 also realteil und 4i als imaginärteil genommen habe. naja und dann weitergerechnet:
(z-3)^2 + (4i)^2 = 9
z^2 - 6z - 16 = 0
dann die abc-formel, und damit kommen meine genannten lösungen raus, aber ich bezweifle auch, dass die stimmen.
so wie du das rechnest, also für c einfach v + iu einsetzen, verstehe ich es nicht, weil du ja quasi die zahlen 4 und -3 aus der grundgleichung garnicht miteinbeziehst, sondern nur das ergebnis 3. sind diese zahlen denn für das resultat unerheblich?

und um deine frage zu beantworten, ja, die beiden zahlenebenen sind gleich.

so und für d), das habe ich korrigiert, was ein rechenfehler, klar, und wenn ich es mit der abc-formel zuenderechne, kommt raus
z = 1 + i, also x = 1 und y = 1
stimmt das?

vielen dank für die hilfe
rad238 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punkte bestimmten Gaußsche Zahlenebene - Hilfe!
a)
Nein, 2) y<x ist falsch. Richtig ist y² < x² <=> |y|<|x| Beim Wurzel ziehen muss man immer sehr aufpassen. Wie sieht die Lösung denn dann aus? Kannst Du das jetzt zeichnen?

b)
Erstens: 4i ist kein Imaginärteil! Der Imaginärteil ist 4 + Im{z}. Allgemein ist ein Imaginärteil nach meinem Verständnis immer eine reelle Zahl.
Zweitens: z-3 ist kein Realteil, der Realteil ist Re{z}-3.
Drittens: Du musst z nicht durch c und c nicht durch u+iv ersetzen, wenn Du nicht willst. Ich dachte, das würde die Sache übersichtlicher machen. Mein Plan war, dass Du selbstverständlich die Lösung von |c| = 3 kennst, ohne dafür rechnen zu müssen. Und für die Lösung von c sind die Zahlen 4 und -3 selbstverständlich vollkommen unerheblich. Das ist ja der Sinn einer Substitution. Und dann, wenn Du c weißt, machst Du die Substitution wieder rückgängig. Aber ich sehe, das verwirrt nur. Dann ersetz einfach z = x+iy, fasse Real- und Imaginärteile zusammen, berechne den Betrag und finde die Kreisgleichung. Also
|z+4i-3| = |x+iy+4i-3| = ...

d)
Nein, nach Korrektur bekommst Du doch 2x=x²+y². Und wie folgt daraus z=1+i ? Das ist eine Lösung, aber wie oben erwähnt wollen wir ALLE Lösungen! Das geht so:
2x=x²+y²
x² -2x + y² = 0
x² -2x +1 + y² = 1
(x -1)² + y² = 1²
|(x + iy) - (1 + 0i) | = 1
|z - (1 +0i) | = 1
Allgemein beschreibt |z – m| = r oder |z – m|² = r ² einen Kreis mit Radius r und Mittelpunkt m. Zeichne das doch mal, vielleicht wird es dann einsichtiger!
Und so ähnlich geht das auch für die anderen Aufgaben. Aber es gibt nicht immer einen Kreis.
Grüße!
 
 
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