Fouriertransformation

03.05.2010, 18:11	JuliusSpringer	Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformation Hi Community, ich bin gerade dabei eine Fourirtransformierte einer Funktion zu berechnen. Dabei hab ich die Funktion f(t) gegeben, die zwischen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ bis 0 wie folgt definiert ist: $\begin{eqnarray} e^{-at} \end{eqnarray}$ , für t > 0 ist sie 0. a sei < 0. Die Fouriertransformierte hab ich nun: $\begin{eqnarray} \hat f(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm e^{-\mathrm{i}\,\omega t}\mathrm dt \end{eqnarray}$ Da ja für t > 0 -> 0 gilt, ist das gleichbedeutend mit: $\begin{eqnarray} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0} f(t) \mathrm e^{-\mathrm{i}\,\omega t}\mathrm dt \end{eqnarray}$ f(t) einsetzen $\begin{eqnarray} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0}e^{-at} \cdot \mathrm e^{-\mathrm{i}\,\omega t}\mathrm dt \end{eqnarray}$ Zusammenführen $\begin{eqnarray} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0}\mathrm e^{\mathrm{i}\,\omega t^2 \cdot a}\mathrm dt \end{eqnarray}$ Wie integriere ich dieses Monster nun? Die eulersche Formel anwenden? Kann man das überhaupt integrieren, ich dachte $\begin{eqnarray} e^{t^2} \end{eqnarray}$ besitze zwar eine Stammfunktion, diese aber nicht darstellbar ist. Grüße, JuliusSpringer
03.05.2010, 18:20	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Überleg' dir nochmal, wie man das richtig zusammenführt...
03.05.2010, 18:36	JuliusSpringer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0}e^{-at} \cdot \mathrm e^{-\mathrm{i}\,\omega t}\mathrm dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{0} \mathrm e^{-\mathrm{i}\,\omega t -at}\mathrm dt \end{eqnarray}$ Stammfunktion $\begin{eqnarray} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \{ \frac{1} {-\mathrm{i} \omega -a} e^{-\mathrm{i}\,\omega t -at}\} \end{eqnarray}$ Ausgewertet bei $\begin{eqnarray} -\infty bis 0 \end{eqnarray}$ Wie Wete ich das ganze bei -unendlich aus? Grenzwert Berechnung? Grüße, JuliusSpringer
03.05.2010, 18:46	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Da kommt dann auch a<0 ins Spiel.
03.05.2010, 19:39	JuliusSpringer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gehe ich mit dem i um? Sprich, wie gehe ich generell vor, wenn ich $\begin{eqnarray} \lim\limits_{p \rightarrow -\infty} e^{-i \omega p} \cdot e^{-pa} \end{eqnarray}$ ausrechnen will? Das konvergiert doch gar nicht, oder muss ich hier erst was umschreiben? Der Restterm $\begin{eqnarray} e^{-pa} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen null. Aber über den ersten Term kann ich leider keine Aussage treffen. Grüße, JuliusSpringer
03.05.2010, 19:43	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht kann dir mein Buddy Euler weiterhelfen...
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04.05.2010, 00:25	JuliusSpringer	Auf diesen Beitrag antworten »
So, ich hab das ganze Problem runtergebrochen auf: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{p \rightarrow -\infty} e^{-i \omega p} \end{eqnarray}$ Das kann ich jetzt schreiben als: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{p \rightarrow -\infty} cos(\omega p) + i \cdot sin(\omega p) \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt hier argumentieren, dass sowohl Kosinuns als auch Sinus beschränkt sind und somit mit $\begin{eqnarray} \lim\limits_{p \rightarrow -\infty} e^{-pa} \end{eqnarray}$ multipliziert der komplette Term null ist? Danke für deine bisherige Hilfe! Es grüßt, JuliusSpringer
04.05.2010, 00:42	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau so wird das gemacht.

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