Abgeschlossenheit eines Unterraumes

03.05.2010, 18:47

sergej88

Abgeschlossenheit eines Unterraumes

Hallo,

ich beschäftige mich seid langem mit einer Teilaufgabe meines Übungszettels. JEdoch will mir da einfach keine Lösung einfallen. Also hier erstmal die Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} L:=\{x = (\xi_k)_{k\in \mathbb{N}} \in l^p : \sum_{k=1}^{\infty} \xi_k = 0 \}, p>1 \end{eqnarray*}$

Ich soll untersuchen, ob L ein Unterraum vom l^p Raum ist.

Für p=1 war das ganz einfach, dafür habe ich das Funktional
$\begin{eqnarray*} T:l^p \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert durch:
$\begin{eqnarray*} Tx := \sum_{k=1}^{\infty}x_k \end{eqnarray*}$

offensichtlich ist T linear und für p=1 auch stetig, also ist $\begin{eqnarray*} L = T^{-1}(0) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

Nun ist die Frage ob L auch für p>1 abgeschlossen ist.
Zum einen gelingt es mit nicht die stetigkeit von T zu zeigen. Also habe ich versucht ein Gegenbeispiel zu konstruieren, jedoch scheinen alle Gegenbeispiele nicht zu funktionieren. Deswegen habe ich als nächstes versucht, dieses direkt über das Folgenkriterium zu zeigen. Jedoch scheiter ich auch selbst hier, weil ich folgende Abschätzung im allgemeinen ja nicht machen kann, habe da nähmlich leider auch ein Gegenbeispiel gefunden:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}|x_k - x_k^n| \leq \sum_{k=1}^{\infty}|x_k - x_k^n|^p \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} x_k^n \end{eqnarray*}$
eine gegen $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ in L konvergente Folge.

Ich würde mich um jede Hilfe freuen.

mfg.

03.05.2010, 19:18

WebFritzi

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Die Sache ist, dass deine Definition für T keinen Sinn macht. Nimm z.B. p = 2. Dann ist die Folge 1/n ein Element von l². Aber die Summe über die 1/k konvergiert gar nicht. Daher ist die Definition von L wohl so zu verstehen, dass der Grenzwert existieren soll und Null ist. Ich würde daher behaupten, dieser Unterraum ist für p > 1 nicht abgeschlossen. Versuch dich doch z.b. mal an Folgen der Form

$\begin{eqnarray*} x_n = (1,-1,\ldots,1/n,-1/n,0,0,\ldots) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} p \ge 2. \end{eqnarray*}$ Das wäre so meine erste Idee. Ich muss jetzt los.

03.05.2010, 19:41

sergej88

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Danke für deine Hilfe:

Die Definition von L habe ich genauso verstanden.
Ferner könnte ich doch T auf einen Unterraum definieren, wo T wohldefiniert ist. Damit wäre L immernoch ein Teilraum dieses neuen Unterraumes.

Zu deiner Folge, mit so ähnlichen habe ich mich seit gestern schon rumgeschlagen. Diese liegt ja offensichtlich in $\begin{eqnarray*} l^p, p>1 \end{eqnarray*}$ . Sehr gut.
Der grenzwert ebenso. smile

Jedoch scheint es mir auch so, dass dieser in L liegt, denn:

$\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow x = (1,-1,1/2,-1/2,....) \end{eqnarray*}$ hier also eine Folge welche nicht abbricht:

$\begin{eqnarray*} | \sum_{k=1}^{n}x_k| = \begin{pmatrix} 0 , n = 2l\\ 1/n , sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie immer hoffe ich jetzt, dass ich mich vertue und alles doch viel einfacher ist, als ich es sehe.

(Dabei sollen das oben eigentlich geschweifte Klammern sein.)

Jedoch werde ich mich weiter daran veruschen und ein wenig rumbasteln...

mfg.

03.05.2010, 20:35

gonnabphd

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Also eure Suche nach einem Gegenbeispiel wird nicht klappen...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} T:l^p \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert durch:
$\begin{eqnarray*} Tx := \sum_{k=1}^{\infty}x_k \end{eqnarray*}$

Das funktioniert zwar nicht ganz, wie WebFritzi schon bemerkt hat. Aber:

Das Hahn-Banach Theorem versichert einem, dass das beschränkte Funktional

$\begin{eqnarray*} T: C \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \sum_{k=1}^{\infty}x_k \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} C:=\{x \in \l^p | \sum x_k \text{ konvergent} \} \end{eqnarray*}$

eine stetige Fortsetzung auf ganz $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ besitzt. (Siehe: http://en.wikipedia.org/wiki/Hahn%E2%80%...nt_consequences, unter "Important Consequences")

Da der Beweis nicht konstruktiv ist und ein Äquivalent des Auswahlaxioms nutzt, kann ich leider auch nicht viel mehr sagen.

Wink

Edit: Wobei, ist das Funktional überhaupt beschränkt? Wollte erst L als Definitionsmenge nehmen, aber dann wäre die Fortsetzung einfach das 0-Funktional. Naja, jedenfalls, wenn das obige Funktional beschränkt wäre, dann wäre die Suche zum Scheitern verurteilt.

Bin dann mal weg, bis die Tage. Wink

03.05.2010, 22:50

sergej88

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Guten Abend,

danke, also ich kenne zwar den Satz leider sind wir in der Vorlesung bei weitem nicht so weit unglücklich

, dh es müsste ja auch anders lösbar sein.

Das Problem hierbei ist noch, dass wenn dieses Funktional beschränkt wäre, dann wäre man schon fertig, da $\begin{eqnarray*} L = T^{-1}(0), und L \subset C \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich werde mal morgen versuchen auszunutzen, dass l^p separabel ist. Ein Operator ist ja schon auf einer dichten Teilmenge eindeutig festgelegt. Evt. hilft mir das ja.

Ansonsten danke für die Hilfe bis hierhin smile

Gute nacht.

03.05.2010, 23:29

gonnabphd

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Zitat:

Das Problem hierbei ist noch, dass wenn dieses Funktional beschränkt wäre, dann wäre man schon fertig, da $\begin{eqnarray*} L = T^{-1}(0), und L \subset C \end{eqnarray*}$ gilt.

Das ist (falls es überhaupt wahr ist?) nicht so trivial, wie es wirkt. Denn mit dieser Argumentation würde es bereits ausreichen, zu zeigen, dass T: L -> IR stetig ist (dann wäre ja T^-1({0}) auch abgeschlossen). (Zusatzfrage: wo liegt bei obiger Argumentation der Hund begraben?)

smile

Edit: lol, ich schwanke irgendwie gerade, ob die Argumente dafür, dass der Raum abgeschlossen ist, oder diejenigen dagegen besser sind...

Man könnte mal die "Folgenfolge" $\begin{eqnarray*} (x_n)_m = \frac{\delta_{n,m}}{n^{\frac{m+1}{m}}} \end{eqnarray*}$ betrachten, wobei $\begin{eqnarray*} \delta_{n,m} = \pm 1 \end{eqnarray*}$ so dass die Summe gegen Null konvergiert.

Damit könnte sich was machen lassen. Wink

04.05.2010, 18:14

sergej88

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Hallo,

danke schonmal vorab für Eure Hilfe.

Das Problem was ich später gesehen habe, ist, dass wenn ich auf einem Unterraum (welcher L enthält) von l^p zeige, dass das Funktional stetig ist, so hätte ich die abgeschlossenheit bezüglich dieses Unterraumes, nicht jedoch diese Bezüglich l^p selbst.
Jedoch kann man zeigen, dass wenn L ein echter Unterraum dieses Unterraumes ist, dass dann die Behauptung folgt.

Ob dem nun so ist ist jetzt erstmal irrelevant, habe hier auch folgendes Gegenbeispiel:
$\begin{eqnarray*} x_1 := (-1,1,0...) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 := (-1,1/2,1/2,0,...) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 := (-1,1/3,1/3,1/3,0,...) \end{eqnarray*}$
usw. also $\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow x=(-1,0,0,...) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$

mfg.

04.05.2010, 18:50

gonnabphd

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.Schönes Gegenbeispiel. smile

04.05.2010, 19:22

WebFritzi

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Zitat:

Original von sergej88
Ob dem nun so ist ist jetzt erstmal irrelevant, habe hier auch folgendes Gegenbeispiel:
$\begin{eqnarray*} x_1 := (-1,1,0...) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 := (-1,1/2,1/2,0,...) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 := (-1,1/3,1/3,1/3,0,...) \end{eqnarray*}$
usw. also $\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow x=(-1,0,0,...) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von gonnabphd

Zitat:

Das Problem hierbei ist noch, dass wenn dieses Funktional beschränkt wäre, dann wäre man schon fertig, da $\begin{eqnarray*} L = T^{-1}(0), und L \subset C \end{eqnarray*}$ gilt.

Das ist (falls es überhaupt wahr ist?) nicht so trivial, wie es wirkt.

Doch, denn der Kern eines beschränkten linearen Operators zwischen zwei normierten Vektorräumen ist stets abgeschlossen. Der Beweis ist trivial. Augenzwinkern

05.05.2010, 02:29

gonnabphd

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Zitat:

Doch, denn der Kern eines beschränkten linearen Operators zwischen zwei normierten Vektorräumen ist stets abgeschlossen. Der Beweis ist trivial. Augenzwinkern

In der Unterraumtopologie: ja. Ansonsten: Schnell beweisen! Augenzwinkern

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