monotnieverhalten und beschränktheit einer folge

03.05.2010, 19:31

analysisisthedevil

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monotnieverhalten und beschränktheit einer folge

untersuchen sie die folge auf monotie und beschränktheit
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{bn^{2} } \end{eqnarray*}$

1.ist sie moton wachsend?

wenn monoton wachsend dann gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{+1}= \frac{1}{(n+1)^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$

für n=1 ist $\begin{eqnarray*} a_{n} = 1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{4} < 1 \end{eqnarray*}$

die folge ist nicht monoton wachsend,da die vorraussetzung für n=1 nicht erfüllt ist.

2.ist sie streng monoton wachsend?

wenn gilt $\begin{eqnarray*} a_{n+1} >a_{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

ist sie streng monotn wachsend.

die folge ist nicht streng monoton wachsend,da $\begin{eqnarray*} a_{n+1} <a_{n} \end{eqnarray*}$

für n=1 siehe 1.

3.ist sie monoton fallend?

die folge ist monoton fallend wenn gilt $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq a_{n} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

für n=1 $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} <1 \end{eqnarray*}$

jetz muss ich doch die vollständige induktion machen oder??

also zeigen das gilt $\begin{eqnarray*} a_{(n+1)+1} \leq \frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

für alle n aus den natürlichen zahlen,wie mach ich da jetz weiter??hab die vollständiuge induktion,nie so gehabt und mit erklären ham die es nich so an meiner hs

03.05.2010, 19:32

Iorek

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RE: monotnieverhalten und beschränktheit einer folge

Zitat:

Original von analysisisthedevil
untersuchen sie die folge auf monotie und beschränktheit
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{bn^{2} } \end{eqnarray*}$

Was ist dein b?

03.05.2010, 19:43

analysisisthedevil

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RE: monotnieverhalten und beschränktheit einer folge

Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Original von analysisisthedevil
untersuchen sie die folge auf monotie und beschränktheit
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$

Was ist dein b?

sorry das b is mir beim formeleditor reingerutscht

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$

so is es natürllich richtig

03.05.2010, 19:47

Iorek

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Betrachte die äquivalente Aussage $\begin{eqnarray*} a_{n+1}>a_{n+2} \Leftrightarrow a_{n+1}-a_{n+2}>0 \end{eqnarray*}$ im Induktionsschritt.

03.05.2010, 20:05

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Iorek
Betrachte die äquivalente Aussage $\begin{eqnarray*} a_{n+1}>a_{n+2} \Leftrightarrow a_{n+1}-a_{n+2}>0 \end{eqnarray*}$ im Induktionsschritt.

sorry,ich glaub ich steh auf dem schlauch.

03.05.2010, 20:10

Iorek

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Schön. Ohne genaue Angabe wo das Problem liegt kann ich da auch nichts gegen machen.

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03.05.2010, 20:13

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Iorek
Schön. Ohne genaue Angabe wo das Problem liegt kann ich da auch nichts gegen machen.

ich habe die vollständige induktion nich so ganz kapiert

03.05.2010, 20:23

Iorek

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Das wäre dann aber eine ganz andere Problemstellung als du eigentlich anfangs gepostet hast...

Hast du die vollständige Induktion als ganzes nicht verstanden? Dann wäre hier eine Möglichkeit das Prinzip davon nachzulesen.

Wenn du Hilfe verlangst, solltest du dich möglichst klar ausdrücken, ein simples "ich versteh das nicht" bringt keinen weiter.

03.05.2010, 20:38

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Iorek
Das wäre dann aber eine ganz andere Problemstellung als du eigentlich anfangs gepostet hast...

Hast du die vollständige Induktion als ganzes nicht verstanden? Dann wäre hier eine Möglichkeit das Prinzip davon nachzulesen.

Wenn du Hilfe verlangst, solltest du dich möglichst klar ausdrücken, ein simples "ich versteh das nicht" bringt keinen weiter.

ich hab die vollständige induktion von ungleichungen nicht kapiert,also hier mal ein besipiel: zu zeigen :

n^2>2n+1 für alle x größer oder gleich 0

lösung:

Ia:

9>7 (Das hab ich ja noch gepeilt,den induktionsanfang hab ich auch in meiner aufgabe hinbekommen)

Is: $\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+2n+1>2n+1+2n+1>2n+3 \end{eqnarray*}$

so,das soll jetz also die lösung sein,ich hab allerdings noch nich mal ne ahnung wie man z.b. darauf kommt :

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+2n+1>2n+1+2n+1 \end{eqnarray*}$

wenn da jetz stehen würde :
$\begin{eqnarray*} (n+1)^2>2n+3 \end{eqnarray*}$

dann würde es sinn ergebn(ok,es steht ja eigentlich da,aber ich versteh die spalte dazwischen nicht..)

03.05.2010, 20:48

Iorek

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Du schreibst einen Term in Abhängigkeit von n und sagst der soll für alle x gelten, du musst genauer arbeiten!

In deiner Induktion fehlt außerdem die Induktionsvorraussetzung, die muss natürlich vorhanden sein, ansonsten kannst du den Beweis auch nicht führen.

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} n=1,~1^2=1\stackrel{?}>3=2\cdot 1+1 \end{eqnarray*}$

Damit ist ein Gegenbeispiel erbracht, die Behauptung also falsch. Du meinst also wahrscheinlich:

$\begin{eqnarray*} \text{Behauptung:}~n^2>2n+1~\forall n\in\mathbb N,~n>2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Beweis per vollständiger Induktion über n:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{IA:}~n=3,~3^2=9>7=2\cdot 3+1 \end{eqnarray*}$

Nun die wichtige: $\begin{eqnarray*} \text{Induktionsvorraussetzung: Die Behauptung gelte für ein}~n\in\mathbb N, n\geq 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{IS:}~n\rightarrow n+1,~(n+1)^2=n^2+2n+1\stackrel{\text{IV}}>(2n+1)+2n+1 \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung dürfen wir aufgrund der Induktionsvorraussetzung machen, da wir die Aussage für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ als wahr vorraussetzen.

03.05.2010, 21:32

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Iorek
Du schreibst einen Term in Abhängigkeit von n und sagst der soll für alle x gelten, du musst genauer arbeiten!

In deiner Induktion fehlt außerdem die Induktionsvorraussetzung, die muss natürlich vorhanden sein, ansonsten kannst du den Beweis auch nicht führen.

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} n=1,~1^2=1\stackrel{?}>3=2\cdot 1+1 \end{eqnarray*}$

Damit ist ein Gegenbeispiel erbracht, die Behauptung also falsch. Du meinst also wahrscheinlich:

$\begin{eqnarray*} \text{Behauptung:}~n^2>2n+1~\forall n\in\mathbb N,~n>2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Beweis per vollständiger Induktion über n:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{IA:}~n=3,~3^2=9>7=2\cdot 3+1 \end{eqnarray*}$

Nun die wichtige: $\begin{eqnarray*} \text{Induktionsvorraussetzung: Die Behauptung gelte für ein}~n\in\mathbb N, n\geq 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{IS:}~n\rightarrow n+1,~(n+1)^2=n^2+2n+1\stackrel{\text{IV}}>(2n+1)+2n+1 \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung dürfen wir aufgrund der Induktionsvorraussetzung machen, da wir die Aussage für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ als wahr vorraussetzen.

aber wieso machen wir das?? ich versteh es einfach nicht

03.05.2010, 21:33

Iorek

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Wir nehmen doch in der IV gerade an, dass n²>2n+1 gilt, darauf beruht ja die Beweisführung.

03.05.2010, 21:43

analysisisthedevil

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ok, das leuchtet so halbwegs ein und woran seh ich dann das (2n+1)+2n+1>2n+3 gilt??

03.05.2010, 21:45

Iorek

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Wie wäre es wenn du einfach mal zusammen addierst?

03.05.2010, 21:58

analysisisthedevil

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ok stimmt.

und wie mach ich das jetz für die eigentliche aufgabe???

ich komm ungefähr soweit:

behauptung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)^{2} } \leq \frac{1}{n^{2} } \enspace fuer\enspace alle n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

IA: $\begin{eqnarray*} n=1 \Rightarrow \frac{1}{4} <1 \end{eqnarray*}$

IV: behauptung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)^{2} } \leq \frac{1}{n^{2} } \enspace fuer\enspace alle n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

IS: $\begin{eqnarray*} {n \to n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n^2+4n+4} \leq \frac{1}{n^2+2n+1} \end{eqnarray*}$

03.05.2010, 22:02

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Betrachte die äquivalente Aussage $\begin{eqnarray*} a_{n+1}>a_{n+2} \Leftrightarrow a_{n+1}-a_{n+2}>0 \end{eqnarray*}$ im Induktionsschritt.

03.05.2010, 22:16

analysisisthedevil

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behauptung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)^{2} } \leq \frac{1}{n^{2} } \enspace fuer\enspace alle n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

IA: $\begin{eqnarray*} n=1 \Rightarrow \frac{1}{4} <1 \end{eqnarray*}$

IV: behauptung: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)^{2} } \leq \frac{1}{n^{2} } \enspace fuer\enspace alle n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

IS: $\begin{eqnarray*} {n \to n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n^2+4n+4} \leq \frac{1}{n^2+2n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{1}{(n^2+2n+1)} - \frac{1}{n^4+4n+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{2n+3}{(n^4+6n^3+12n^2+12n+4)} \end{eqnarray*}$

daraus folgt die behauptung is bewiesen ,da $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

jetz muss ich nur noch irgendwie beweisen das sie entweder streng monoton fallend oder monoton fallend ist......oder??????????

03.05.2010, 22:36

analysisisthedevil

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RE: monotnieverhalten und beschränktheit einer folge
oder ist das schon bewiesn und ich bin nur zu dumm um das zu sehen?

03.05.2010, 22:41

Iorek

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Wie müsste der Bruch denn aussehen, damit die Gleichheit gilt? Wann wäre dieser Bruch denn 0?

03.05.2010, 22:45

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Iorek
Wie müsste der Bruch denn aussehen, damit die Gleichheit gilt? Wann wäre dieser Bruch denn 0?

der bruch wäre null wenn der zähler null wäre,was hier aber nicht sein kann ,da n nur eine natürliche zahl sein kann und der zähler nur für eine nicht-natürliche zahl 0 wird.

03.05.2010, 22:47

Iorek

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Also was sagt uns das über die Monotonie?

03.05.2010, 22:51

analysisisthedevil

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die folge ist streng monoton fallend

03.05.2010, 22:51

Iorek

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Und wenn sie streng monoton fallen ist, natürlich auch monoton fallend.

03.05.2010, 22:59

analysisisthedevil

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jetz muss ich noch die beschränktheit ermitteln,kann ich das dann einfach als funktion behandeln?

03.05.2010, 23:04

Iorek

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Die Beschränktheit bekommst du hierbei quasi beschänkt. Du weißt die Folge ist monoton fallend und alle Folgenglieder liegen in IN, wieso kannst du daraus direkt die Beschränktheit folgern?

03.05.2010, 23:17

analysisisthedevil

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RE: monotnieverhalten und beschränktheit einer folge
ich weis es nicht irgendwie....

03.05.2010, 23:17

Iorek

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Was weißt du denn über IN?

03.05.2010, 23:18

analysisisthedevil

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RE: monotnieverhalten und beschränktheit einer folge
sie is nach unten beschränkt weil es nie ein folgeglied 0 gibt???

03.05.2010, 23:24

Iorek

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Ist das eine Frage oder eine Aussage? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Genau das ist die Begründung, also streng monoton fallend und beschränkt.

03.05.2010, 23:33

analysisisthedevil

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ja ,sagen wir mal ein gedanke mit fragezeichen....also in der musterösung steht die kleinste obere schranke is 1 und die größte unter schranke is 0.
ich blicks irgendwie nich so ganz....

04.05.2010, 00:07

Iorek

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Das sind zwei Aussagen, welche macht Probleme?

Was ist das erste Folgenglied? Was weißt du dann darüber, wenn die Folge s.m.f. ist?

04.05.2010, 00:16

analysisisthedevil

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das erste folgenglied ist 1

jedes weitere folgenglied muss kleiner als 1 aber größer als 0.
also ist mit 1 quasi das maximum der folge und die kleinste obere schranke vereint.
da die folge nie 0 werden darf is 0 die größte untere schranke.

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