Definition von 0^0

03.05.2010, 21:28

Studandy

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Definition von 0^0

Meine Frage:
Wie lautet die allgemeine Definition von 0^0 ?

Meine Ideen:
Eigentlich müsste die Anwort x^0 = 1 lauten,( für x ist Element aus der Menge der rellen Zahlen).
Aber ich habe im Bereich Numerik gesehen, dass 0^0 = 0 vorausgesetzt wurde.
Woran liegt das ?
Gibt es überhaupt eine allgemeine Definition von 0^0 ?

03.05.2010, 21:31

Iorek

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RE: Definition von 0^0

Zitat:

Original von Studandy

Gibt es überhaupt eine allgemeine Definition von 0^0 ?

Nein, gibt es nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.05.2010, 21:32

IfindU

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RE: Definition von 0^0
Es gibt keine allgemeine Definition, da man für 2 Nullfolgen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ , so wählen kann, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n^{b_n} = k \end{eqnarray*}$ , und k nicht für alle Nullfolgen gleich ist.
Meistens definiert man 0^0 mit 1, da man bei Summen eine Fallunterscheidung spart, allerdings kann man es bestimmt auch mit pi definieren.
Deswegen gibt es nicht wirklich eine "allgemein" Definition von 0^0.

Auf Wikipedia waren meines Wissens sogar einige Beispiele für verschiedene Folgen.

04.05.2010, 18:40

Mystic

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RE: Definition von 0^0

Zitat:

Original von IfindU
Es gibt keine allgemeine Definition, da man für 2 Nullfolgen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ , so wählen kann, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n^{b_n} = k \end{eqnarray*}$ , und k nicht für alle Nullfolgen gleich ist.

Dieses Argument zeugt im Grunde nur, dass man die Funktion $\begin{eqnarray*} x^y \end{eqnarray*}$ im Punkt (x,y)=(0,0) nicht stetig ergänzen kann...

Zitat:

Original von IfindU
Meistens definiert man 0^0 mit 1, da man bei Summen eine Fallunterscheidung spart, [...]

Genauer bei "polynomialen Ausdrücken" und Potenzreihen, wie z.B. in

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk a^kb^{n-k} \end{eqnarray*}$

für a=0 oder b=0, oder auch bei der Berechnung von cos 0 mittels der Reihe

$\begin{eqnarray*} \cos x = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von IfindU
Deswegen gibt es nicht wirklich eine "allgemein" Definition von 0^0.
Auf Wikipedia waren meines Wissens sogar einige Beispiele für verschiedene Folgen.

Doch, gibt es... Noch einmal:

$\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$ ,

da man anderfalls, wie obige Beispiele zeigen, sehr schnell "in Teufels Küche" käme... Das ist so sicher wie das Amen im Gebet, genauso, wie es immer wieder Leute geben wird, die dies Abrede stellen werden... Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS: Auch alle mir bekannten CAS verwenden diese Definition, und man darf davon ausgehen, dass die Leute dahinter sich sehr genau überlegt haben, warum ...

04.05.2010, 18:55

Leopold

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RE: Definition von 0^0

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$ ,

da man anderfalls, wie obige Beispiele zeigen, sehr schnell "in Teufels Küche" käme... Das ist so sicher wie das Amen im Gebet, genauso, wie es immer wieder Leute geben wird, die dies Abrede stellen werden... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Genau. Ich zum Beispiel.
Wieso fällt es manchen Mathematikern nur so schwer, Mehrdeutigkeit zu akzeptieren? Es gibt halt Leute, die mit Freiheit nichts anfangen können und lieber alles geregelt haben ...

Das Argument mit dem CAS übrigens ist eines Mathematikers unwürdig.

04.05.2010, 19:30

Mystic

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RE: Definition von 0^0

Zitat:

Original von Leopold
Wieso fällt es manchen Mathematikern nur so schwer, Mehrdeutigkeit zu akzeptieren? Es gibt halt Leute, die mit Freiheit nichts anfangen können und lieber alles geregelt haben ...

Ich fürchte, wenn man die Fragestellung so ausweitet, wird das eine Diskussion, die sehr ins "Philosophische" abdriftet, ohne dass ich dies jetzt von vornherein als negativ ansehe... Vielleicht sollte man der Klarheit halber das Ganze überhaupt zweiteilen in die 2 Fragen:

1. Ist die Definition $\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$ unter Mathematikern soweit verbreitet bzw. akzeptiert, dass man sie (in diesem Sinn!) als "allgemein" ansehen kann?
2. Ist diese Definition sinnvoll?

Wie meinem obigen Posting klar zu entnehmen ist, gehöre ich zu denjenigen, die beide Fragen mit einem klaren ja beantworten würden... Nichtsdestoweniger habe ich trotzdem kein übergroßes Problem damit, wenn jemand es für sich z.B. bei der 2.Frage anders hält... Wenn man will, habe ich meine Freiheit, mir für mich selber auszusuchen, wie ich es damit halte, auch genützt, aber halt mit einem anderen Ergebnis...

Zitat:

Original von Leopold
Das Argument mit dem CAS übrigens ist eines Mathematikers unwürdig.

Ich würde jetzt gerne was dazu sagen, kann es aber nicht, da ich nicht genau weiß, was du damit meinst... unglücklich

unglücklich

Da ich jedenfalls gleich mehrere verschiedene CAS wirklich extensiv verwende und auch sonst ein begeisterter Programmierer bin, ist für mich persönlich das jetzt schon ein Argument... Schließlich macht es Programme nicht nur kürzer, sonder auch lesbarer, wenn es da klare Richtlinien gibt, die auch dem entsprechen was in der Mathematik "üblich" ist... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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04.05.2010, 19:51

Leopold

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Wie Taschenrechner sind auch CASysteme Werkzeuge, die Mathematikern dienen sollen. Beim Programmieren müssen Informatiker gegebenenfalls Entscheidungen treffen, wie sie gewisse Phänomene implementieren wollen. Da mag für den Standardgebrauch die Entscheidung $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ vernünftig sein. Denn sobald es um Polynome, Potenzreihen etc. geht, ist das eine vernünftige Festlegung. Da stimme ich dir voll und ganz zu. Auch ich "interpretiere" bei Potenzreihen $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ . Andererseits enthebt uns die Entscheidung der Programmierer nicht der Notwendigkeit, den eigenen Verstand zu gebrauchen. So wird etwa bei

$\begin{eqnarray*} \left( \operatorname{e}^{- \frac{1}{x}} \right)^x \end{eqnarray*}$

die Interpretation $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to 0+0 \end{eqnarray*}$ eine unstetige Ergänzung liefern.

Viele kleine Taschenrechner (probiere es mit deinem aus!) liefern übrigens

2/3 = 0,666666666
5/3 = 1,666666667

Soll man jetzt den Kindern unter Berufung auf den Taschenrechner neue Rundungsregeln beibringen?

04.05.2010, 20:30

Mystic

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Zitat:

Original von Leopold
Denn sobald es um Polynome, Potenzreihen etc. geht, ist das eine vernünftige Festlegung. Da stimme ich dir voll und ganz zu. Auch ich "interpretiere" bei Potenzreihen $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ .

Ja, genaugenommen hatte ich auch nur diese Beispiele, welche im "mathematischen Alltag" doch eine sehr wichtige Rolle spielen, im Auge...

Zitat:

Original von Leopold
Andererseits enthebt uns die Entscheidung der Programmierer nicht der Notwendigkeit, den eigenen Verstand zu gebrauchen. So wird etwa bei

$\begin{eqnarray*} \left( \operatorname{e}^{- \frac{1}{x}} \right)^x \end{eqnarray*}$

die Interpretation $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to 0+0 \end{eqnarray*}$ eine unstetige Ergänzung liefern.

Nicht in Derive oder Maple ( Mathematica kann ich im Moment leider nicht ausprobieren): Ersteres liefert 1/e, letzteres weigert sich überhaupt x=0 einzusetzen.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber nichtsdestoweniger, die altbekannte Gefahr, dass der Computer falsche Ergebnisse liefert und ihm auch zu "blind" vertraut wird, ist sicher da, würde man aus der Sicht der Designer eines CAS versuchen, alle "pitfalls" peinlichst zu vermeiden, so wäre dies mancherorts durch die vielen Zwischenabfragen mit erheblichen Effizienzeinbussen verbunden... Es geht eben auch hier der Entscheidung, wie immer sie dann ausfällt, eine "Güterabwägung" voraus...

04.05.2010, 20:32

wisili

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[attach]14510[/attach]

... zählt doch zu den bekannteren CAS.

04.05.2010, 20:42

Mystic

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Zitat:

Original von wisili
[attach]14510[/attach]

... zählt doch zu den bekannteren CAS.

Sowas hatte ich fast befürchtet, konnte es gerade nicht selbst ausprobieren, da im Moment gerade die Lizenz abgelaufen war.... Ich wußte ja, warum ich dieses CAS am allerwenigsten mag... Big Laugh

Big Laugh

Aber Spaß beiseite, was liefert es übrigens für obigen Ausdruck $\begin{eqnarray*} exp(-1/x)^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ? Vermutlich dann dasselbe...

04.05.2010, 20:43

IfindU

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Ausprobiert, er liefert 1/e, genauso wie die Onlineversion Alpha.

04.05.2010, 20:51

Mystic

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Zitat:

Original von IfindU
Ausprobiert, er liefert 1/e, genauso wie die Onlineversion Alpha.

Ah, danke...Doch nicht so dumm, wie ich dachte... Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.05.2010, 20:54

giles

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Zitat:

Original von IfindU
Ausprobiert, er liefert 1/e, genauso wie die Onlineversion Alpha.

Hmmm...?
Da Mathematica 1/0 = ComplexInfinity eingebaut hat, kriegt er bei mir nichts raus.

f[x_] = Exp[-1/x]^x;
f[0]
-> Indeterminate

Er schafft es nicht mal, die Funktion zu plotten verwirrt

verwirrt

04.05.2010, 20:55

IfindU

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Oh - ich hab den Grenzwert gegen 0 genommen. Verzeih, versuche gerade erst mit Mathematica klarzukommen.

04.05.2010, 20:59

giles

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Ist etwas gewöhnungsbedürftig find ich, gut dass wir dieses Semester erst mal einen Einführungskurs dazu hatten =)

04.05.2010, 23:39

vza27j

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RE: Definition von 0^0
Hallo an alle Wink

Wink

ich möchte mich ganz herzlich für die vielen Beiträge bedanken. Freude

Freude

Ich wusste gar nicht, dass es hier zu solchen Wortwechsel kommen kann.

Obwohl ich nicht verstanden habe, was nun CAS bedeutet, entnehme ich aus den Anworten, dass es keine "allgemeine" Definition für 0^0 gibt
Und die meist verbreitete, meist akzeptierte Festlegung von 0^0 = 1 ist.

Also, vielen Dank

Gruß

05.05.2010, 00:01

Airblader

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CAS bedeutet "Computer-Algebra-System" und bedeutet, dass nicht nur numerisch (d.h. mit Zahlen) gerechnet werden kann, sondern auch symbolisch (d.h. mit Variablen, Ableiten, Integrieren - sowas).

air

05.05.2010, 00:31

Studandy

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Danke Dir für die Information, air Augenzwinkern

Augenzwinkern

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