lineare Unabhängigkeit

04.05.2010, 07:52

Nullvektor321

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lineare Unabhängigkeit

Meine Frage:
hi,
ich bin ziemlich ratlos bei der aufgabe und es wäre cool wenn ihr mir helfen könntet. hier die aufgabe:

Untersuchen Sie die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ f_{i}|i\in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ auf lineare Unabhängigkeit, wobei $\begin{eqnarray*} f_{i}\in \mathbb Q ^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ definiert ist durch:
$\begin{eqnarray*} f_{i}(n)=\begin{cases}<br /> n, &\text{für n} \leq \text{i,}\\<br /> 0, &\text{für n} > \text{i}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ziemliche ratlosigkeit, ich hoffe durch euch "Licht ins dunkle" zu bringen

04.05.2010, 09:40

Reksilat

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RE: lineare Unabhängigkeit
Schau Dir die Definition von linearer Unabhängigkeit an und schreibe auf, was genau zu zeigen ist. smile

smile

Gruß,
Reksilat.

05.05.2010, 08:19

Nullvektor231

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hi,
also lineare Unabhängigkeit ist dann gegeben wenn die linearkombination verschiedenerer Vektoren aus dem selben "Raum" den Nullvektor ergibt. hoffe ich habe das richtig formuliert.

zu der Funktion: wenn das jetzt ne normale funktion wäre hätte ich gesagt, das es sich um eine parallele der x-achse handelt, wenn n<=i und um die x-achse wenn n>i.

aber die soll wohl eine Teilmenge von beliebig langen Vektoren darstellen. man müsste also lineare unabhängigkeit für 2 fälle betrachten.
für n<=i und n>i.
für n>i ist das linear Unabhängig(hofftl sag ich jetzt nicht falsches geschockt

geschockt

) da 0=0 gilt.

aber für n<=i bin ich etwas ratlos, da man ja n-gliedrige vektoren untersuchen müsste, aber keine konkreten zur verfügung hat um das zB im gleichungssystem zu prüfen.

05.05.2010, 10:27

Reksilat

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Du hast eine Menge von Vektoren gegeben. Wie diese genau definiert sind, soll erstmal nicht so wichtig sein. Schreib bitte auf, was genau die lineare Unabhängigkeit bedeutet und zwar nicht in Prosa, sondern mit Hilfe geeigneter Variablen. Nur so kann man weitermachen.

Gruß,
Reksilat.

05.05.2010, 11:08

Nullvektor132

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also mit variablen sähre das folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n c_{k}v_{k} = c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+...+c_{1}v_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{wobei } a_{k} \text{ der zugehörige faktor(ieine zahl) zum Vektor } v_{k} \text{ ist} \end{eqnarray*}$

05.05.2010, 12:17

Nullvektor142

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ich nochmal.
das muss natürlich folgendermaßen aussehen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n c_{k}v_{k} = c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+...+c_{1}v_{n}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{wobei } a_{k} \text{ der zugehörige faktor(ieine zahl) zum Vektor } v_{k} \text{ ist} \end{eqnarray*}$

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05.05.2010, 12:40

Reksilat

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Unsere Vektoren heißen hier $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ und nicht plötzlich $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ und wenn Du $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ verwendest, wieso redest Du dann von $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ?
Außerdem steht bei Dir nur eine Gleichung ohne jeglichen Zusammenhang - das ist nicht die Definition von linearer Unabhängigkeit, dazu fehlt noch eine Aussage, die $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ betreffend.

05.05.2010, 13:54

Nullvektor152

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tut mir leid ich war gerade in einer vorlesung und stand unter zeitdruck. hoffe du verzeihst mir das halbherzige "dahinklatschen" der formel.

hier mal die version, die hofftl richtig ist:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n c_{k}f_{k} = c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2}+...+c_{n}f_{n}=0 \end{eqnarray*}$

und zwar gilt das nur als beweis für lineare unabhängigkeit, wenn man den Nullvektor nur erzeugen kann, wenn alle koeffizienten = 0 sind. wenn man das auch anders schafft, dann ist es entsprechend lin. abhängig.

bei "normalen" vektoren, habe ich das immer mit einem simplen Gleichungssystem und anschliessenden auflösen nach den koeffizienten gemacht.

05.05.2010, 14:09

Reksilat

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Das Problem ist hier aber, dass die Menge unendlich viele Elemente enthält und nicht nur $\begin{eqnarray*} f_1,..,f_n \end{eqnarray*}$ .

Lineare Unabhängigkeit bedeutet in diesem Fall, dass jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist. Wir können ja mal als Beispiel die Menge $\begin{eqnarray*} \{f_1,..,f_n\} \end{eqnarray*}$ untersuchen und anschließend kannst Du das verallgemeinern.

Also: Wir nehmen an, dass die obige Gleichung eine nichttriviale Darstellung der Null (also der Nullfunktion) darstellt. Einige der $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ sind also nicht Null und wir nehmen mal an, dass $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ maximal sei, mit $\begin{eqnarray*} c_j\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_k=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=j+1,..,n \end{eqnarray*}$ .
Werte doch nun mal die linke und die rechte Seite Deiner Gleichung an der Stelle $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ aus.
-Rechts steht die Nullfunktion, also ist das Bild von $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ gleich Null.
-Links steht eine Linearkombination von Abbildungen. Werte diese an der Stelle $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ aus.

05.05.2010, 14:30

Nullvektor122

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also so wie ich das verstanden habe, müsste das ganze dann linear abhängig sein, weil man mit $\begin{eqnarray*} c_{j} \end{eqnarray*}$ den Nullvektor in Form der anderen $\begin{eqnarray*} c_{n} \end{eqnarray*}$ 's
darstellen kann.

05.05.2010, 14:41

Reksilat

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Wir führen einen Widerspruchsbeweis, das heißt: Wir nehmen an, dass die Menge linear abhängig ist, wir können also solche $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ finden, und das führen wir dann zum Widerspruch.

05.05.2010, 15:22

Nullvektor112

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hmm also irgendwie verstehe ich das ganze nicht so recht.
wenn es koeffizienten gibt die nicht 0 sind, dann ist doch die lineare abhängigkeit bewiesen. oder müssen bei linearer abhängigkeit alle koeffizienten ungleich 0 sein?
bin ein bisschen verwirrt jetzt, hoffe du siehst es mir nach Gott

Gott

05.05.2010, 15:30

Reksilat

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Wir machen einen Widerspruchsbeweis.
Wir nehmen an, dass die Menge linear abhängig ist und führen das zum Widerspruch. Damit ist dann gezeigt, dass die Menge linear unabhängig ist. Klar?

05.05.2010, 15:40

Nullvektor111

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dann muss man quasi zeigen, das die koeffizienten die durch die Annahme das lineare Abhängigkeit besteht ungleich 0 sind. doch alle gleich 0 sind.
aber ich weiss nicht wie ich das so formulieren kann, das es als beweis annähernd brauchbar wäre, denn es existieren ja keine konkreten Werte mit der man das belegen könnte

05.05.2010, 19:51

Xamid

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"Wir nehmen an, dass die Menge linear abhängig ist und führen das zum Widerspruch. "
Mich interessiert brennend, warum eine Menge, die doch offenbar die 0 enthält, angeblich linear unabhängig sein soll..

05.05.2010, 23:42

co0kie

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@Xamid:

Wie kommst du darauf, dass die Menge die Null enthalten würde?

06.05.2010, 08:51

Manus

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Die Null ist nicht enthalten. In dieser Vorlesung (Lineare Algebra I (für Informatiker vermutlich) an der RWTH) enthält $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ nicht die 0.

06.05.2010, 09:18

Mystic

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Zitat:

Original von Manus
In dieser Vorlesung (Lineare Algebra I (für Informatiker vermutlich) an der RWTH) enthält $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ nicht die 0.

Ah, das ist des Rätsels Lösung... Diese Besonderheit, welche mich auch gerade sehr verwirrt hat, sollte aber unbedingt in der Aufgabenstellung angeführt sein....

06.05.2010, 09:52

Manus

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Naja, es scheint ja keine echte Konvention in der Hinsicht zu geben, von daher wäre das echt praktisch gewesen.

Zitat meiner Zahlentheorie-Dozentin: "In dieser Vorlesung ist $\begin{eqnarray*} 0 \notin \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , wenn ich mich da mal vertue müssen Sie mir das verzeihen, ich halte zur Zeit noch eine andere Vorlesung, da ist 0 eine natürliche Zahl"

Edit: Der TE muss Gas geben, wenn er noch Antworten haben möchte. Die Abgabe des Blattes ist in 2 Minuten.

06.05.2010, 10:34

Mystic

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Zitat:

Original von Manus
Zitat meiner Zahlentheorie-Dozentin: "In dieser Vorlesung ist $\begin{eqnarray*} 0 \notin \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , wenn ich mich da mal vertue müssen Sie mir das verzeihen, ich halte zur Zeit noch eine andere Vorlesung, da ist 0 eine natürliche Zahl"

Lol, sowas nennt man dann wohl eine "gespaltene Persönlichkeit", oder frei nach Nestroy, wer ist stärker, ich oder ich? Big Laugh

Big Laugh

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