Erzeugendensystem

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pessimist Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem
Meine Frage:
hi, hier die aufgabe:








Meine Ideen:
ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen, denn ich tappe da ziemlich im dunklen
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

was heißt denn linear unabhängig? Das kann man leicht überprüfen. Und bei der a) sollte wohl Sei X:=....stehen, oder?
pessimist2 Auf diesen Beitrag antworten »

ja sry in der a) ist natürlich X := gemeint.

also lineare Unabhängigkeit ist dann gegeben wenn die linearkombination verschiedenerer Vektoren aus dem selben "Raum" den Nullvektor ergibt. hoffe ich habe das richtig formuliert.

also die b) würde ich dann folgendermaßen, mit erstellung eines gleichungssystemes lösen:

1*a + 1*b = 0
0*a + 1*b = 0 => b=0
0*a + 1*b = 0 => b=0
0*a + 1*b = 0

jetzt b=0 in 1*a + 1*b = 0 einsetzen => 1*a + 0 = 0 => a=0

da also a=b=0 ist Y linear unabhängig. qed.

bei der a) und c) fehlt mir allerdings jediglicher ansatz.
was ein erzeugendensystem ist weiss ich zwar, aber wie man zeigt das es eins ist weiss ich nicht. und wie man die c) zeigt, da bin ich auch ratlos
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ein einfaches Verfahren zur Lösung von a) wäre, die Vektoren von X als Zeilen in eine Matrix zu schreiben und diese auf Zeilenstufenform zu bringen. Ist der Rang der Matrix gleich der Dimension von V, so ist X ein Erzeugendensystem.
pessimist² Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab die vektoren mal in eine matrix, diese dann mit subtrahieren der zeilen und zeilentauschen, in eine Einheitsmatrix umgewandelt:


die Matrix hat den Rang 4(wenn meine Umformung richtig ist) und die Dimension bestimmt man so:





da Rang und Dimension = 4 sind, ist X also ein Erzeugendensystem von V.

haut das so hin? vielen dank schonmal für die schnelle hilfe, habt mir echt weitergeholfen.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Formulierung für die (c) denn korrekt?

Wenn sein soll, dann müsste ja sein. Aber .

air
 
 
pessimist³ Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt

ja hast natürlich recht mir ist da ein fehler unterlaufen. das ist nicht die teilmenge sondern die vereinigunsmenge. die c) sieht also folgendermaßen aus:



danke für das aufmerksam machen auf den fehler, so wie ich das hingeschrieben hab hat das keinen sinn gemacht
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pessimist²
haut das so hin?

Ja.
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