Weierstraßscher Doppelreihensatz - Bedingungen

04.05.2010, 10:16	Stefan03	Auf diesen Beitrag antworten »
Weierstraßscher Doppelreihensatz - Bedingungen Hallo, ich hänge bei dieser Aufgabe fest: Sei $\begin{eqnarray} c_{kl}:=\frac {(-1)^k}{(k+l)^\alpha} \end{eqnarray}$ aus N\{0} und $\begin{eqnarray} c_{00}=0 \end{eqnarray}$ Für welche $\begin{eqnarray} \alpha>0 \end{eqnarray}$ sind die Bed. des Weierstraßschen Doppelreihensatzes erfüllt. Eigentlich muss ja nur gelten, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{l=0}^\infty c_{kl}< \infty \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \alpha\ge 1 \end{eqnarray}$ haben wir ja eine alternierende Harmonische Reihe bzw. eine mit Exp. $\begin{eqnarray} >1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ konvergent Reicht das oder hab ich da nen Denkfehler. Und was zw. 0 und 1 passiert, weiß ich leider auch nicht.
05.05.2010, 13:52	Stefan03	Auf diesen Beitrag antworten »
push
05.05.2010, 21:42	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe jetzt kurz im I-net nach diesem Satz gesucht, aber nix gefunden. Hättest du evtl. einen Link? Oder könntest du den Satz posten?
05.05.2010, 22:37	Stefan03	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, so haben wir das in der Vorlesung aufgeschrieben: http://yfrog.com/0sweierstraj
05.05.2010, 22:58	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Demzufolge müsste gelten, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{l=0}^\infty \|c_{kl}\|< \infty \end{eqnarray}$ . Am besten überlegst du dir erstmal, wieviele Möglichkeiten es gibt, ein bestimmtes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ als Summe zweier natürlicher Zahlen (inklusive Null) darzustellen mit Beachtung der Reihenfolge. z.B. $\begin{eqnarray} 2= 0+2=2+0=1+1, \quad 3 = 0+3 = 3+0=1+2=2+1 \end{eqnarray}$ Dadurch findest du eine handlichere Darstellung der Partialsummen: $\begin{eqnarray} \sum_{k+l \leq n} \frac{1}{(l+k)^\alpha} = \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{i^\alpha} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ die Anzahl an Möglichkeiten angibt, i als solche Summe darzustellen.

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