algebraische gleichung eines torus

04.05.2010, 12:13	birke+	Auf diesen Beitrag antworten »
algebraische gleichung eines torus Meine Frage: hallo, ich stehe irgendwie auf dem schlauch. ich möchte gerne die algebraische gleichung eines torus herleiten. Meine Ideen: ich weiß bisher, dass der rotationstorus sich durch folgende gleichung in den x, y, z, koordinaten beschreiben lässt (R^2-r^2)^2+ 2R^2(z^2-x^2-y^2)-2r^2(x^2+y^2+z^2)+(x^2+y^2+z^2)=0 bzw. (x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2-4R^2(x^2+y^2)=0 weiterhin weiß ich, dass man sich diese formeln mit hilfe von (sqrt(x^2+y^2)-R^2+z^2)=r^2 herleiten kann. und die letzte formel sich aus dem satz des pythagoras ergibt aber wie komme ich auf diese ganzen gleichungen? R ist hier der abstand vom radius des torus zum Ursprung des koordinatensystems und r der radius des kreises des torus. ich habe es versucht mir zuerklären mit der skizze von wikipedia, aber leider komme ich nicht wirklich dahinter, wie sich die gleichung aufstellen lässt. über eure hilfe wäre ich sehr dankbar.
04.05.2010, 18:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke dir für $\begin{eqnarray} 0<r<R \end{eqnarray}$ in der $\begin{eqnarray} xz \end{eqnarray}$ -Ebene den Kreis $\begin{eqnarray} (x-R)^2 + z^2 = r^2 \ \wedge \ y = 0 \end{eqnarray}$ Fixiere nun einen Punkt $\begin{eqnarray} (u,0,w) \end{eqnarray}$ auf dem Kreis. Für die Parameter $\begin{eqnarray} u,w \end{eqnarray}$ gilt daher $\begin{eqnarray} (u-R)^2 + w^2 = r^2 \end{eqnarray}$ Speziell ist $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ nur positiver Werte fähig (wichtig beim vorletzten Äquivalenzpfeil unten). Jetzt laß den Punkt $\begin{eqnarray} (u,0,w) \end{eqnarray}$ um die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Achse rotieren. Dadurch beschreibt er einen Kreis. Dieser Kreis liegt parallel zur $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Ebene auf dem Niveau $\begin{eqnarray} z=w \end{eqnarray}$ und hat den Radius $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ . Für die Koordinaten $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ eines beliebigen Kreispunktes gilt daher $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = u^2 \ \wedge \ z = w \end{eqnarray}$ Jetzt muß man nur die Parameter $\begin{eqnarray} u,w \end{eqnarray}$ aus den Gleichungen eliminieren: $\begin{eqnarray} (u-R)^2 + w^2 = r^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ u^2 + w^2 - 2Ru + R^2 - r^2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \ \ x^2 + y^2 + z^2 - 2Ru + R^2 - r^2 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x^2 + y^2 + z^2 + R^2 - r^2 = 2Ru \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \ \ \left( x^2 + y^2 + z^2 + R^2 - r^2 \right)^2 = 4R^2 u^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \ \ \left( x^2 + y^2 + z^2 + R^2 - r^2 \right)^2 = 4R^2 \left( x^2 + y^2 \right) \end{eqnarray}$
05.05.2010, 13:24	birke+	Auf diesen Beitrag antworten »
algebraische gleichung torus vielen dank, du hast mir super weiter geholfen. wenn man ersteinmal den ansatz hat ist es wirklich gar nicht schwer. vielen dank noch einmal

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »