Problem mit Differentialgleichung/Differentialrechnung

04.05.2010, 13:03

steka

Problem mit Differentialgleichung/Differentialrechnung

Hi Leute,

ich hab ein relativ dummes Problem mit der Differentialrechnung, ich denke es wird leicht zu beheben sein.

Als Beispiel folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} 2*\frac{d^{2}x}{dt} + \frac{dx}{dt} -1 = 15 \end{eqnarray*}$

So wie ich es bisher verstanden habe, kann ich Folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} 2*d^{2}x + dx = 14*dt \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich dann korrekt mit der linken Seite umgehe.

verhält sie sich einfach wie :

$\begin{eqnarray*} \int \! (x^{2}+x) \, dx \end{eqnarray*}$

so, dass die Gleichung dann insgesamt ergäbe:

$\begin{eqnarray*} 2 * \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C1 = 7*t^{2} + C2 \end{eqnarray*}$

Oder bin ich schon längst schief gewickelt ?

04.05.2010, 13:09

magixD

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Das ist leider der falsche Ansatz.
Die Gleichung ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2.Ordnung. Zum Lösen verwendet man hier einn "e-Ansatz", hast du davon schon einmal gehört?

magixD

04.05.2010, 13:11

steka

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Sorry, nein.

Wenn du es kurz erklären magst, gerne. Ansonsten lese ich mir das in einigen Quellen kurz durch.

Verwendet man diesen Ansatz bei DGL 2. Ordnung generell, oder würde es im Prinzip nach der Variablentrennung auch gehen ?

Hilfreich wäre es auch zu wissen, ob ich denn - ob des falschen Ansatzes - trotzdem mit den Differentialoperatoren richtig umgegangen bin ?

04.05.2010, 13:25

magixD

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Zitat:

Original von steka
Sorry, nein.

Wenn du es kurz erklären magst, gerne. Ansonsten lese ich mir das in einigen Quellen kurz durch.

Ich würde dir empfehlen deine Quellen zu befragen, dass dauert hier zu lange zum Erklären und außerdem steht's in der Literatur (meistens) ditaktisch besser drinnen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von steka
Verwendet man diesen Ansatz bei DGL 2. Ordnung generell, oder würde es im Prinzip nach der Variablentrennung auch gehen ?

Variablentrennung funktioniert hier lieder nicht, weil du eben eine zweite Ableitung drinnen hast.

Zitat:

Original von steka
Hilfreich wäre es auch zu wissen, ob ich denn - ob des falschen Ansatzes - trotzdem mit den Differentialoperatoren richtig umgegangen bin ?

Wenn du meinst ob du das Integral $\begin{eqnarray*} \int (x^2+x) dx \end{eqnarray*}$ richtig gelöst hast, dann ja. Die Bezeichnung "Differentialoperator" würde ich hier nicht verwenden, der Begriff ist schon anderweitig belegt Augenzwinkern

04.05.2010, 13:42

steka

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Ok, danke.

Gib mir bitte ein wenig Zeit, bin grad völlig im Lernstreß. Regelungstechnik.... dafür werd ich das dann auch brauchen, daher die Ableitung dx/dt Augenzwinkern

12.05.2010, 18:47

steka

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Ich nochmal.

Mit dem e-Verfahren kriege ich es nur auf dem Taschenrechner hin.. Mangels Randbedingungen komme ich da nicht an die Konstanten.

Ich hab es aber nun über die Laplace Transformation probiert und bin auch dort auf ein Problem gestoßen.

Ich komme nach der Transformation zu folgender Gleichung:

$\begin{eqnarray*} F(s) = \frac{2*s*f(0)+2*df(0)+f(0)+14}{s+(2s+1)} \end{eqnarray*}$

Nach Faktorisierung:

$\begin{eqnarray*} F(s) = \frac{-4*df(0)}{2s+1} - \frac{28}{2s+1} + \frac{f(0)}{s} + \frac{2*df(0)}{s} + \frac{14}{s} \end{eqnarray*}$

für die letzten drei Terme erhalte ich ja:

$\begin{eqnarray*} f(0)*\lambda (t)+ 2*df(0)*\lambda (t) + 14 * \lambda (t) \end{eqnarray*}$

Lambda als Ersatz für Sigma.

Ich weiß dann jedoch nicht, wie ich die Terme mit 2s+1 rücktransformieren soll. Es wird ja irgendwas mit e sein.

Unabhängig davon: Ist dies ein zulässiger Ansatz?

12.05.2010, 19:45

Rmn

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Mit $\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}x}{dt} \end{eqnarray*}$ meinst du jetzt aber $\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}x}{dt^2} \end{eqnarray*}$ oder ist es richtig so?

Zitat:

Mangels Randbedingungen komme ich da nicht an die Konstanten.

An die kommst du auch mit Laplace nicht und sonst auch gar nicht, außerdem muss du für Laplace voraussetzen, dass t positiv ist. Wenn der 1. Summand wirklich einfach die 2. Ableitung ist, dann verstehe ich nicht, was du bei deiner Transformation gerechnet hast.

14.05.2010, 08:22

steka

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Zitat:

Original von Rmn
Mit $\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}x}{dt} \end{eqnarray*}$ meinst du jetzt aber $\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}x}{dt^2} \end{eqnarray*}$ oder ist es richtig so?

Zitat:

Mangels Randbedingungen komme ich da nicht an die Konstanten.

Stimmt, ich meinte

$\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}x}{dt^2} \end{eqnarray*}$

Was ist denn bei meiner Transformation falsch ?

14.05.2010, 19:37

Rmn

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Ich habe nicht gesagt, dass sie falsch ist, sondern, dass ich sie nicht verstehe, das ist was anderes smile

Hier nochmal nachgerechnet. (Hoffentlich habe mich nicht verrechnet, lange selbst nicht mehr gemacht.)

$\begin{eqnarray*} 2*\frac{d^{2}x}{dt} + \frac{dx}{dt} -1 = 15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} \rightarrow sF(s)-f(0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{d^{2}x}{dt^2} \rightarrow s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0) \ \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} 2s^{2}F(s) - 2sf(0) - 2f'(0) + sF(s) - f(0) = 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2s^{2} + s)F(s) = 16 + f(0) + 2f'(0) + 2sf(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(s) = \frac{16 + f(0) + 2f'(0) + 2sf(0)}{s(2s + 1)} \end{eqnarray*}$

Andere Terme bekommst du mit der Verschiebungsregel:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{s+a} \rightarrow e^{-at} \end{eqnarray*}$

18.05.2010, 15:12

steka

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Genau diese Verschiebungsregel kapiere ich für diesen Fall nicht.

Was wird aus dem 2s+1 Zeug ?

18.05.2010, 22:50

Rmn

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2s+1}=\frac12\cdot\frac{1}{s+\frac12}\rightarrow \frac12\cdot e^{-\frac12t} \end{eqnarray*}$

19.05.2010, 13:54

steka

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Manchmal kann Mathe auch einfacher sein, als man denkt....

Sorry, da war ich Hammer