Exponentialfunktionen/e-Funktion |
| 04.05.2010, 13:34 | dee | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Exponentialfunktionen/e-Funktion Als erstes: jede e-Funktion ist doch eine Exponentialfunktion, oder? Wenn das so ist, dann gelten doch die Eigenschaften der Exponentialfunktionen auch alle(?) für die e-Funktion!? Hat jede e-Funktion (Exponentialfunktion) nur positive Funktionswerte, sodass der zugehörige Graph die x-Achse nicht schneidet? Das müsste doch so sein, denn der Wertebereich aller Exponentialfunktionen ist doch die Menge aller positiven reellen Zahlen, oder? Wir ihr sehen könnt, gibt es bei mir noch einige Unsicherheiten. Es wird wohl daraus hinauslaufen, dass ich eine Exponentialfunktion/e-Funktion untersuchen muss. Gibt es da grundsätzliche Dinge, die man stets anführen kann, wie z.B. dass es keine Schnittpunkte mit der x-Achse gibt (wenn es dann tatsächlich so ist)? |
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| 04.05.2010, 14:20 | dee | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich bin noch auf andere Unklarheiten gestoßen. Folgende Aussagen sind zutreffend: alle Exponentialfunktionen wachsen schneller als jedes Polynom e^x steigt/fällt schneller als jedes Polynom (jede Potenz) Aber warum? Zunächst: kann mir jemand versuchen zu erklären, was ein Polynom ist - bitte ohne den allgemeinen Term mit x, a, n etc. Ich habe die Definition im Mathebuch mit dem Term zwar gelesen, aber trotzdem nicht verstanden, welche Funktionsterme ich nun alle als Polynom zu betrachten habe. Was muss zwingend enthalten sein? Warum wächst eine Exponentialfunktion immer(!) schneller als ein Polynom? Ein Polynom enthält doch Potenzen (kann es zumindest) und nichts anderes ist doch e^x ...wie kann das dann grundsätzlich gelten? |
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| 04.05.2010, 14:36 | coolz3ro | Auf diesen Beitrag antworten » |
also: Ja, die E-Fkt. ist eine Exponentialfunktion. Bei einem Polynom hat die Form a+bx+cx^2... das heißt ganz einfach, dass ein Polynom zwar Variablen hat, diese aber nicht im Exponenten stehen, wie bei Exponentialfunktionen wie der E-Fkt. a, b, c... sind konstanten (die auch "Null" sein können... dadurch können dann zum beispiel bestimmte Potenzen verschwinden.) Beispiel: a= 2 b= 0 c= 3 >> f(x)= 2+ 0*x + 3*x^2 = 2+ 3*x^2 Ein polynom verliert immer gegen die E-Funktion, da die E-Fkt. eine Exponentialfunktion ist und damit das "x" im Exponenten stehen hat. Polynome haben einen festen Exponenten, der nciht wie x steigen kann. Es steigt nur die Basis. Wenn du also bei einem Polynom x gegen unendlich laufen lässt, dann steigt der y-Wert der Fkt. nciht so schnell an wie bei einer E-Fkt. Beispiel: f(x)= 2+ 3*x^2 g(x)= e^x f(1)= 2+ 3*1^2 = 5 g(1)= e^1 = e >> hier ist f(x) noch größer, aber je höhere "x" du einsetzt, desto mehr nähert sich die E-Fkt. dem Polynom an und wird es schnell "überholen! Wir setzen z.b. 100 ein: f(100) = 2+ 3*100^2 = 30002 g(100) = e^100 = 2,68 * 10^43 du könntest jetzt versuchen einfach die konstante von f(x) sehr groß zu machen... aber irgendwann!!! wird die e-Fkt. auch dann die f(x) "überholen", weil sie einfach viel schneller wächst, weil das "x" im exponenten steht. hoffe ich konnte dir das näher bringen. |
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| 04.05.2010, 14:45 | coolz3ro | Auf diesen Beitrag antworten » |
achso... und: ja, jede E-Fkt. hat nur positive Fkt-werte, soweit du sie nicht verschiebst, also z.b. sagst f(x) = e^x -1... dann schneidet sie die x-Achse natürlich. für x kannst du aber alle Zahlen aus "R" einsetzen. Wenn du negative Zahlen einsetzt, dann nähert sich die E-Fkt. "Null" an... unzwar auch wieder schneller als jedes Polynom! und bei f(x)= e^(1/x) nähert die E-Fkt. sich Eins an für entsprechend große "x". |
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| 05.05.2010, 12:37 | dee | Auf diesen Beitrag antworten » |
VIELEN DANK! Das ist eine Definition für "Polynom", mit der ich auch was anfangen kann. Dadurch wird die Erklärung für das schnellere Anwachsen auch verständlich. Wirklich vielen Dank für deine Hilfe. |
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