Betrachtung eines Vektorraums über dem Körper

04.05.2010, 15:10	lindner	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachtung eines Vektorraums über dem Körper Hallo, ich habe eine Aufgabe, die ich schon vom Ansatz her nicht verstehe. Betrachten Sie den Vektorraum $\begin{eqnarray} Z_{5}^{4} \end{eqnarray}$ (also alle Spalten mit 4 Zeilen, deren Einträge aus dem Körper sind) über dem Körper $\begin{eqnarray} Z_{5} \end{eqnarray}$ . 1) Wieviele Elemente enthält dieser Vektorraum? 2) Sind diese Vektoren linear unabhängig? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \overline{2} \\ \overline{1} \\ \overline{0} \\ \overline{3} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \overline{1} \\ \overline{3} \\ \overline{0} \\ \overline{-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was genau bedeutet das? Normal eine lineare (Un-)Abhängigkeit zu prüfen ist ansich nicht schwer, aber was hat es mit den Querstrichen über den Elementen auf sich? Die 4 in $\begin{eqnarray} Z_{5}^{4} \end{eqnarray}$ bedeutet wahrscheinlich wirklich nur, dass es Vektoren mit 4 Zeilen gibt, aber was bedeutet "im Körper $\begin{eqnarray} Z_{5} \end{eqnarray}$ "? Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.. Gruß
04.05.2010, 17:26	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betrachtung eines Vektorraums über dem Körper Hi lindner, $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray}$ ist der Restklassenkörper modulo 5, also die Menge aller Reste bei Division durch 5. $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_5=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\} \end{eqnarray}$ . Man rechnet mit den Restklassen wie bei den Kongruenzen modulo 5: Es ist $\begin{eqnarray} 3+4\equiv 2\pmod 5 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} \overline{3}+\overline{4}=\overline{2} \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} 2\cdot 4\equiv 3\pmod 5 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} \overline{2}\cdot \overline{4}=\overline{3} \end{eqnarray}$ Übrigens ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_n \end{eqnarray}$ genau dann ein Körper, wenn $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ eine Primzahl ist. Gruß, Reksilat.

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