Beweis von Schlussfolgerungen mit Inneres, Rand, Abschluss

04.05.2010, 15:59

kleenes annilein

Beweis von Schlussfolgerungen mit Inneres, Rand, Abschluss

Hallöchen,
ich hab auf meinem neuen Übungsblatt eine Aufgabe, bei der ich einfach keinen vernünftigen Anfang finde. Ich bräuchte einfach ein paar Tipps, in welche Richtung ich mal denken und arbeiten sollte, welche meiner Überlegungen schon ganz sinnvoll sind u.s.w.. Aber erst einmal hier die Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} A,B\subset \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:
(a) Aus $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ folgen $\begin{eqnarray*} A°\subset B° \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \frac{}{A} \subset \frac{}{B} \end{eqnarray*}$ , jedoch nicht $\begin{eqnarray*} dA\subset dB \end{eqnarray*}$ .

Direkt bei der ersten Folgerung hab ich keine Ahnung, wie ich das beweisen soll, auch wenn ich mir schon ein paar Dinge überlegt habe und mir zumindest geometrisch klar ist, dass die Aussage stimmt.
Meine bisherigen Gedanken zusammengefasst:
- $\begin{eqnarray*} A°\subset A\subset B \end{eqnarray*}$
-x ist innerer Punkt von A $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists \alpha >0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} K_{\alpha }\left(x\right) \subset B \end{eqnarray*}$

Ich hab die letzten 2 Stunden an der ersten Folgerung "geforscht", aber leider ist nichts dabei herum gekommen... deshalb die dringende Bitte um ein paar Tipps.
Vielen Dank schon mal,
die anni

04.05.2010, 17:41

gonnabphd

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Zitat:

- $\begin{eqnarray*} A°\subset A\subset B \end{eqnarray*}$
-x ist innerer Punkt von A $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists \alpha >0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} K_{\alpha }\left(x\right) \subset B \end{eqnarray*}$

Damit bist du ja schon (fast) fertig. Was müsste denn gegeben sein, damit für diesen beliebigen inneren Punkt von A gilt, dass er im Inneren von B liegt?

04.05.2010, 20:08

kleenes annilein

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Es muss auch ein (weiteres?) $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ geben, sodass alle Punkte der Kugel in B liegen.
Aber wie beweise ich, dass dieses tatsächlich gibt?? Oder reicht es schon, $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ klein genug zu machen???

achso, sorry, dass ich erst jetzt wieder was schreibe, hatte noch ne Vorlesung und bin jetzt erst zu Hause...

04.05.2010, 23:34

gonnabphd

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Ich versteh' nicht ganz:

Zitat:

Hier schreibst du ja schon, dass es eine Kugel im Inneren von B um a gibt.... verwirrt

Denn es ist ja (gemäss deinen eigenen Angaben) $\begin{eqnarray*} K_{\alpha }\left(x\right) \subset B \end{eqnarray*}$

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