Integralrechnung und uneigentliche Integrale

26.10.2006, 15:50

jungwolf

Ich habe eine Frage anläßlich Flächenberechnungen mittels Integralen..

Es ist wohl nicht möglich die Fläche 'eines' Graphen zu berechnen,dessen Werte von negativen bis positiven reichen,zumindest erhalte ich einen negativen Flächenwert.Die Möglichkeit,dass dies richtig ist,ist nicht gegeben,da beispielweise bei dieser Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^{4} } \end{eqnarray*}$ der Flächeninhalt unendlich sein müsste.
Wenn es also möglich ist,eine Fläche zu berechnen,dann nur bei offenen Intervallen.
Ich habe das mal bei obriger Funktion versucht:
$\begin{eqnarray*} -\int_{\infty }^{1}~\frac{1}{x^{4} } ~dx= \lim_{b \to \infty } -\int_{b}^{1}~\frac{1}{x^{4} }~dx= \lim_{b \to \infty } -[\frac{-1}{3x^{3}} ]_{b}^1= \lim_{b \to \infty }(\frac{-1}{3b^{3}}+\frac{1}{3})= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Kontrolle: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{1}{x^{4} }=0\Rightarrow -\frac{1}{3b^{3} }+ \frac{1}{3}=0\Rightarrow b=1 \end{eqnarray*}$

1.) Ist die Fläche eines Intervalls (1;unendlich) $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3b^{3} }+ \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b\geq 1 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich aber nun die Fläche eines Intervalls berechnen will,dessen y-Wert unendlich ist,also praktisch die gesamte Fläche der Graphhälfte bis b,dann ergibt sich das Problem,das sich 'a' 0 annähren muss,für genau 0 aber nicht definiert ist: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }\frac{1}{ x^{4} }=0 \end{eqnarray*}$
Wenn der Grenzwert aber nicht definiert ist,könnte es doch sein,dass es bedeutet,dass keiner existiert?

2.)Dann könnte für: $\begin{eqnarray*} \int_{0 }^{1}~...~dx \end{eqnarray*}$ auch geschrieben werden: $\begin{eqnarray*} \int_{\infty }^{1}~...~dx=\lim_{a \to \infty } \int_{1}^{a}~...~dx \end{eqnarray*}$

Man käme dann auf einen ähnlichen Wert wie bei 1.)

Stimmt das so? Und wenn nicht,wie sollte es sonst gehen?

Viele Grüße

26.10.2006, 18:58

jungwolf

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Hilfe..

Es ist doch nur ein ja/nein notwendig.. unglücklich

26.10.2006, 20:31

jungwolf

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Ich präzisiere meine Frage nocheinmal..(falls dies an den Nerven nagt,tut Es mir leid)

Ich weiß,wie man Flächen bei geschlossenen Intervallen berechnet und auch,wie die Rechnung auszusehen hat,falls b zur Unendlichkeit langt.Nur:

1.) Ich bin mir unsicher,ob eine Summe zur Flächenberechnung taugt,wenn eine Variable unbestimmt ist. (Die Frage war eher nebenbei,auch wenn erstens)

2.) Ist es nun möglich,dies auf 'a' zu übertragen,so wie ich es gemacht habe?

Bin ganz bestürzt,dass niemand antwortet traurig

(unabhängig von Ungeduld geht es mir primär um das Prinzip)

27.10.2006, 02:06

tigerbine

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Zitat:

Original von jungwolf

Bin ganz bestürzt,dass niemand antwortet traurig

(unabhängig von Ungeduld geht es mir primär um das Prinzip)

Na da hat jemand wohl noch einen langen Weg zum Leitwolf vor sich. Augenzwinkern

Auf meine Frage habe ich auch noch keine Antwort, und ich habe vor Dir gefragt. traurig

Ich hoffe bei deinem Prinzip handelt es sich um die Integrale und nicht um das Antwortverhalten in diesem Forum.

Bei deiner ersten Frage treffen wir auf den Klassiker: Umgangssprache meets Mathematische Definition. Nur Frage ich mich, was du jetzt eigentlich berechnen willst:

* Das Integral der Funktion f

** Den von der Funktion f und der x-Achse eingeschlossenen Flächeninhalt A

Nehmen wir als Beispiel f(x) = x auf dem Intervall [-2;1] . dann erhalten wir:

* $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{1}~x~dx=\int_{-2}^{0}~x~dx+\int_{0}^{1}~x~dx=-2+\frac{1}{2}=-1.5 \end{eqnarray*}$

** $\begin{eqnarray*} A=|\int_{-2}^{0}~x~dx| + |\int_{0}^{1}~x~dx| = 2 + \frac{1}{2} = 2.5 \end{eqnarray*}$

Als nächstes verstehe ich deinen Übergang zur Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^4} \end{eqnarray*}$ nicht. Wo besitzt diese Funktion negative Werte? Aber vielleicht meinst du ja auch ein neues Problem:

*** den unendlichen Flächeninhalt

Auch hier musst du dich von der Veranschaulichung der Fläche als solcher lösen. Wir betrachten Flächen zwischen dem Grafen der Funktion und seiner Asymptote. D.h. Wir erhalten nie eine Umrisslinie der Fläche. Undo müßte es doch einen eigentlich vielmehr verwundern, dass es Fälle dieser Art gibt, bei denen der "Flächeninhalt" endlich ist.

27.10.2006, 02:11

tigerbine

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Machen wir mit deiner Beispielfunktion weiter:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^4} \end{eqnarray*}$

Dann solten wir uns zunächst einmal fragen, wo diese definiert ist. Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} {0} \end{eqnarray*}$

Du interessiert dich nun für das Integral:

$\begin{eqnarray*} -\int_{\infty}^{1}~\frac{1}{x^4}~dx= \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{x^4}~dx= \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b}~\frac{1}{x^4}~dx=\lim_{b \to \infty}[-\frac{1}{3x^3}]^b_1=\lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{3b^3}+\frac{1}{3})= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Deine Probe verstehe ich nicht. unglücklich

So long,
tigerbine

27.10.2006, 02:12

tigerbine

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Zitat:

Wenn es also möglich ist,eine Fläche zu berechnen,dann nur bei offenen Intervallen

Betrachte meine Ausführungen zu f(x)=x

27.10.2006, 08:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von jungwolf
Es ist wohl nicht möglich die Fläche 'eines' Graphen zu berechnen,dessen Werte von negativen bis positiven reichen,zumindest erhalte ich einen negativen Flächenwert.Die Möglichkeit,dass dies richtig ist,ist nicht gegeben,da beispielweise bei dieser Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^{4} } \end{eqnarray*}$ der Flächeninhalt unendlich sein müsste.
Wenn es also möglich ist,eine Fläche zu berechnen,dann nur bei offenen Intervallen.

Irgendwie geht da einiges durcheinander. Ich habe diese 3 Sätze 10-mal gelesen und mir ist immer noch nicht klar, was du sagen willst.

Hier der Versuch einer Klarstellung:
1. Ein Graph hat keine Fläche. Es geht immer um die Fläche zwischen dem Funktionsgraph und der x- Achse. dazu benötigt man ein abgeschlossenes Intervall und eine Funktion, die auf diesem Intervall definiert ist.

2. Zum Integralbegriff: $\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ gibt die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse über dem Intervall [a; b] an. Dabei handelt es sich um eine gerichtete Fläche. Das heißt, Flächenstücke, die unterhalb der x-Achse liegen, werden negativ gezählt. Möchte man die Fläche im geometrischen Sinn berechnen, dann muß man die Funktion von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und die Beträge der einzelnen Ergebnisse addieren.

3. Das uneigentliche Integral: $\begin{eqnarray*} \int_a^{\infty}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ heißt uneigentliches Integral und wird so definiert:

$\begin{eqnarray*} \int_a^{\infty}~f(x)~dx := \lim_{b \to \infty}\int_a^b~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ , sofern der Grenzwert existiert.

Ist a_0 eine Definitionslücke, kann man sich in analoger Weise an diese annähern:
$\begin{eqnarray*} \int_{a_0}^b~f(x)~dx := \lim_{a \to a_0}\int_a^b~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, daß damit die eine oder andere Frage beantwortet ist. smile

27.10.2006, 17:55

jungwolf

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Zitat:

Zitat:
Original von jungwolf
Es ist wohl nicht möglich die Fläche 'eines' Graphen zu berechnen,dessen Werte von negativen bis positiven reichen,zumindest erhalte ich einen negativen Flächenwert.Die Möglichkeit,dass dies richtig ist,ist nicht gegeben,da beispielweise bei dieser Funktion der Flächeninhalt unendlich sein müsste.
Wenn es also möglich ist,eine Fläche zu berechnen,dann nur bei offenen Intervallen.

Irgendwie geht da einiges durcheinander. Ich habe diese 3 Sätze 10-mal gelesen und mir ist immer noch nicht klar, was du sagen willst.

Ich meinte,dass man,für den Fall,dass das Intervall von dem negativen Teil der x-Achse bis zum Positiven reicht,den Flächeninhalt unter dem Graphen mit einem einfachen Integral nicht berechnen kann,da sonst ein negativer Flächenwert entsteht.
An dieser Stelle hatte ich nicht daran gedacht,dass man einfach den Betrag bilden muss.
Ich bin da nicht selber drauf gekommen,da meines Erachtens nach die Fläche unendlich groß hätte sein müssen,was aber offensichtlich nicht so ist (doch nicht wegen zeichnerischer Unmöglichkeit?)

"Nur bei offenen Intervallen",damit meinte ich,dass 'b' beliebig sein muss.Ich dachte,man könnte dies mit der Gleichung des ersten Punktes,meines ersten Beitrags in diesem Thread.Das würde schließlich viel Rechenaufwand sparen.Diese Frage stände noch offen.

Zitat:

Deine Probe verstehe ich nicht

Da 1/3 der Grenzwert ist,ist der maximale Wert,den der Subtrahend annehmen darf,ebenfalls 1/3,was dann 0 ergibt.1/3 erreicht der Subtrahend,wenn b=1 ist.

Also wie gesagt,eine Frage bliebe noch offen.

Für die Antworten bin ich euch sehr dankbar,weil es mir sehr sehr wichtig ist.Vielleicht habe ich deshalbe so dumm/vorlaut reagiert..Ich bitte vielmals um Verzeihung,es wird nicht wieder vorkommen.

Ich wünsche euch sonst noch einen schönen Tag und nochmal danke wegen der verständlichen Erläuterungen..

Viele Grüße

27.10.2006, 18:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von jungwolf
Ich meinte,dass man,für den Fall,dass das Intervall von dem negativen Teil der x-Achse bis zum Positiven reicht,den Flächeninhalt unter dem Graphen mit einem einfachen Integral nicht berechnen kann,da sonst ein negativer Flächenwert entsteht.
An dieser Stelle hatte ich nicht daran gedacht,dass man einfach den Betrag bilden muss.
Ich bin da nicht selber drauf gekommen,da meines Erachtens nach die Fläche unendlich groß hätte sein müssen,was aber offensichtlich nicht so ist (doch nicht wegen zeichnerischer Unmöglichkeit?)

Auch wenn man vom negativen Teil der x-Achse bis zum positiven Teil integriert, gilt: ist f(x) > 0, dann ist das Integral positiv, ist f(x) < 0, dann ist das Integral negativ. Oder hast du bei deiner Frage eine spezielle Funktion im Auge?

Zitat:

Original von jungwolf
Also wie gesagt,eine Frage bliebe noch offen.

Kannst du nochmal genau deine Frage formulieren?

27.10.2006, 18:21

tigerbine

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Also zu 1.

Zitat:

Ist die Fläche eines Intervalls (1;unendlich) $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3b^{3} }+ \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b\geq 1 \end{eqnarray*}$ ?

Für das Intervall [1, oo) verläuft der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^4} \end{eqnarray*}$ oberhalb der x-Achse und nähert sich dieser asymptotisch.(*)

Wir interessieren uns nun für das Integral $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b}~\frac{1}{x^4}~dx \end{eqnarray*}$ , was wir also wegen (*) als Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse und den Parallelen zur y-Achse durch 1 und b interpretieren können.

Dass das Integral für b=1 gleich 0 ist, also $\begin{eqnarray*} \int_1^1 ~ f(x)dx = 0 \end{eqnarray*}$ , folgt schon aus der Definition des Bestimmten Integrals.

Für den Grenzwert $\begin{eqnarray*} b \to \infty \end{eqnarray*}$ erhält man den "Flächeninhalt" $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Für jedes $\begin{eqnarray*} b < \infty \end{eqnarray*}$ ergibt sich ein kleinerer Flächeninhalt, nämlich $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{3}-\frac{1}{3b^3}] \end{eqnarray*}$

D.h., je größer b wird, umso größer wird auch der Flächeninhalt, aber er wird nie größer als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ werden.

27.10.2006, 19:17

jungwolf

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Danke,Frage beantwortet! Freude

Und danke dafür,dass es so ausführlich war! Wink

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