Invariante Unterräume

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Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »
Invariante Unterräume
Hallo! smile

Im Moment verzweifele ich am Ansatz dieser Aufgabe:

Zeige, dass eine lineare Abbildung einen
a) eindimensionalen invarianten Unterraum und
b) einen zweidimensionalen Unterraum hat.

Ich weiß, dass eine Abb. invariant heißt, wenn es einen UVR W eines VR V gibt, sodass f(W) = W.
Wie ich aber hier einen vernünftigen Ansatz hinbekomme, weiß ich nicht unglücklich

Ich hoffe, ihr könnt mir Tipps geben.

Danke schonmal smile

Lieben Gruß
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Invariante Unterräume
Hi Kaninchen,

Fangen wir doch mal bei dem eindimensionalen invarianten Unterraum an. Wenn so ein f-invarianter Unterraum wäre, dann gäbe es doch ein , mit . Was kannst Du denn dann über aussagen?

Gruß,
Reksilat.
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre dann ja w, da das Bild von W ganz in W läge smile Und w wäre ja aus W.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Was zum Geier soll w sein? Erstaunt2

Klar, liegt in , aber was sagt uns das insbesondere noch aus? Denk mal an das Kapitel, welches Ihr anscheinend gerade Behandelt. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, dass das charakterstische Polynom von dem invarianten Raum das c.P. von V teilt. Wolltest du darauf hinaus? smile

Und dann gibt es noch die Fahnen, also z.b. ist die 0 in V1 enthalten, V1 und V2 usw, bis V selbst.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es ist viel billiger...

f(v) liegt in W. Und was ist W?
 
 
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

f(v) ? verwirrt Ich glaub ich denke gerade zu kompliziert unglücklich
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass dies, wenn W nur aus dem v besteht und dieser invariant ist, dieses invariante f in dem Fall die Identität ist? Müsste doch, oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Beschäftige Dich mal mit Erzeugnissen! Wenn ist, dann liegt bestimmt nicht nur in sondern welche Vektoren genau?
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau ist denn v in eckigen Klammern? Meinst du das ?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, dass Du jetzt fragst und nicht oben, wo ich das zum ersten Mal geschrieben habe. unglücklich
Schon mal was vom Span, Erzeugnis oder linearer Hülle eines Vektors gehört?
Dieses wird eben meist mit solchen Klammern gekennzeichnet. Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Hülle

Gruß,
Reksilat.
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich hab ich davon gehört. Dann gehts in dem Fall letztendlich um die Vielfachen des Vektors v.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Wenn es einen eindimensionalen f-invarianten Unterraum W gibt, so wird der aufspannende Vektor v also auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet. Wie nennt man denn solche Vektoren, die diese Eigenschaft haben?

Außerdem kannst Du Dir ja überlegen, dass diese Aussagen äquivalent sind, dass nämlich zu jedem solcher Vektoren immer auch wieder ein f-invarianter eindimensionaler Unterraum gehört.
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du Eigenvektoren?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ja! smile
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut, dann hab ich das jetzt verstanden. Danke.

Aber bei den zweidimenisionalen, wie beginne ich denn da?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Bist Du sicher, dass Du alles hast? Du musst ja auf jeden Fall nach gewährleisten, dass f auch wirklich einen Eigenwert hat.

Nun gut, im zweiten Fall kannst Du den Eigenvektor ja schon voraussetzen. Bastel Dir doch mal eine Basis, in der dieser enthalten ist und schau Dir die Matrixdarstellung von f bezüglich dieser Basis an.

Gruß,
Reksilat.
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich da die Matrix als Matrix aus C auffassen und das dann ähnlich wie in a überprüfen?
Vektoren in C kann ich ja aufspalten als a + ib.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! Die Matrix hat Einträge aus . Das bringt nichts.
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