Positive Matrixeinträge und positive Eigenvektoren

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04.05.2010, 17:31	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Positive Matrixeinträge und positive Eigenvektoren Hallöchen, auch hier habe ich im Moment keine Ahnung, wie ich weitervorgehen kann: Sei $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c& d& \end{pmatrix} \in M(2;\mathbb R ) \end{eqnarray}$ mit a, b, c, d > 0. Zeige, dass A einen Eigenvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}\in \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ hat, mit x,y > 0. Ich kann ja das charakteristische Polynom aufstellen, das wäre $\begin{eqnarray} (a-\lambda ) (d - \lambda ) - bc \end{eqnarray}$ Nun weiß ich aber nicht genau, wie ich die Behauptung folgern kann? Bin für Tipps wie immer sehr dankbar. Lieben Gruß
04.05.2010, 17:42	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Positive Matrixeinträge und positive Eigenvektoren Zeige doch erst mal, dass A einen Eigenwert hat. Dazu solltest Du mit dem char. Polynom weitermachen. Gruß, Reksilat.
04.05.2010, 21:21	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix hat dann den Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda = a - \frac{bc}{d-\lambda } \end{eqnarray}$ Ich hab jetzt schon versucht, das in die Darstellung $\begin{eqnarray} f(x) = \lambda x \end{eqnarray}$ einzusetzen, bisher hab ich aber noch nichts brauchbares. Ist das denn der richtige Weg?
05.05.2010, 10:14	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das charakteristische Polynom ist ein quadratisches Polynom in $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Dessen Nullstellen auszurechnen sollte nicht schwerfallen. Deiner Darstellung oben ist Quatsch, denn da steht ja auf der rechten Seite noch das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ .
05.05.2010, 10:51	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist es $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{a+d}{2} \pm \frac{\sqrt{(a-d)^2-4bc}}{2} \end{eqnarray}$
05.05.2010, 11:01	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sollte $\begin{eqnarray} +4bc \end{eqnarray}$ sein - andernfalls kannst Du auch nicht gewährleisten, dass es reelle Eigenwerte gibt. Weiteres Vorgehen: Versuche den größeren der beiden Eigenwerte mal ein wenig nach unten abzuschätzen.
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05.05.2010, 11:06	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Der dürfte ja letztendlich > 0 sein, da ja a, b, c, d größer 0 sind. Womit dann ja eigentlich schon folgen würde, dass der Eigenvektor dazu auch nicht negative Einträge haben darf. Richtig?
05.05.2010, 12:33	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, aber versuche doch mal eine andere Abschätzung für $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{a+d}{2} + \frac{\sqrt{(a-d)^2+4bc}}{2} \end{eqnarray}$ zu finden. Eine die nicht ganz so weit nach unten geht. Nimm Dir vielleicht auch mal einen zugehörigen Eigenvektor und schau Dir die Gleichung $\begin{eqnarray} Av=\lambda v \end{eqnarray}$ etwas genauer an. Eventuell kommt Dir dann ja auch eine passende Idee, wie Du zeigen kannst, dass auch die Einträge von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ nicht negativ sind.
05.05.2010, 14:15	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht a+d?
05.05.2010, 14:19	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, diese Abschätzung geht nicht. Mit Ratespielchen kommst Du hier auch nicht weit. Die Wurzel stört doch da offensichtlich, aber immerhin ist ein Quadrat zu erkennen. Versuch mal so abzuschätzen, dass die Wurzel verschwindet.
05.05.2010, 15:04	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, dass es a + bc ist...
05.05.2010, 15:08	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du Deinen Rechenweg erklären würdest, dann könnte ich Dir vielleicht Hinweise geben. Die Vermutung $\begin{eqnarray} \lambda\geq a+bc \end{eqnarray}$ ist leider auch falsch. Du hast doch eine Wurzel und darunter ein Quadrat. Welcher Term stört dabei, wenn Du das miteinander in Verbindung bringen willst?
05.05.2010, 15:10	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
4bc stört...aus dem anderen kann ich ja die Wurzel ziehen. Aus der 4 kann ich ja vielleicht noch die Wurzel ziehen, das wäre ja 2, aber so oder so bekomme ich die Wurzel doch nicht weg?
05.05.2010, 15:12	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Deswegen sollst Du ja auch abschätzen.
05.05.2010, 15:14	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann komme ich aber trotzdem auf $\begin{eqnarray} a + \sqrt{bc} \end{eqnarray}$
05.05.2010, 15:22	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Quatsch! - Moment...
05.05.2010, 15:28	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Wurzel hat oben gefehlt, aber die Abschätzung bleibt falsch. Das wäre höchstens eine Abschätzung nach oben. Abschätzung nach unten bedeutet etwas nichtnegatives wegzunehmen. Auf weitere Rateversuche antworte ich auch nicht mehr. Eine kurze Erklärung der Abschätzung muss dann schon drin sein.
05.05.2010, 15:34	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wäre es wohl, wenn etwas nicht negatives weggenommen wird, dass die Wurzel von bc verschwinden müsste, denn die ist ja positiv da b und c positiv sind. Aber da das bestimmt auch falsch ist: Danke trotzdem für deine Hilfe, schönen Tag noch!
05.05.2010, 15:42	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm doch einfach mal das bc weg und schau was passiert. Ein bisschen herumprobiere gehört dazu. Das hier ist kein Chat, wo Du jeden Deiner Schritte vorher überprüfen lassen kannst. Nimm Dir Zeit. Wenn hier nach zwei Minuten immer gleich eine neue Antwort von Dir dasteht, wird man als Helfer eher sauer, weil die Hinweise dann ja auch nur kurz gelesen werden können. Versuch macht kluch!
05.05.2010, 16:37	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann erhalte ich a. Wenn ich dies dann einsetze habe ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} ax + by & \\ cx + dy & \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax \\ ay \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , was dann aber auch nicht sein kann, da by = 0 wäre. Ach Mist
05.05.2010, 16:43	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, der EIgenwert ist $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Auf der rechten Seite steht dann $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ vor dem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Anschließend die Abschätzung verwenden.
05.05.2010, 17:10	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du an dieser Stelle? $\begin{eqnarray} x(\lambda -a) = by \end{eqnarray}$ für die erste Zeile oder anders umformen?
05.05.2010, 17:15	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dort kannst Du die Abschätzung verwenden.

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