Gleichung mit zwei Unbekannten

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04.05.2010, 18:18	NastyNat	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit zwei Unbekannten Meine Frage: Ich habe hier eine Gleichung, bzw. muss ich die Determinante gleich 0 stetzen für x,y aus den reellen Zahlen . Mein Problem ist, dass ich nicht weiß ob meine Lösung oder mein Lösungsweg richtig sind und ob ich damit auch alle x,y bestimme für welche die Determinante gleich Null ist. Es git: det(J)= (3x^2+y^2-1) (x^2+3y^2-1)- (2xy)^2 Meine Ideen: Ich habe zunächst die ersten beiden Klammern gleichgesetzt, und erhalte dann, dass x=y, wenn ich nun davon ausgehe lautet meine Gleichung (4x^2-1)^2=(2x^2)^2 also 4x^2-1 = 2x^2, dann erhalte ich x=y= 0,25 und -0,25 Kann ich davon ausgehen, dass die Gleichung nur für diese x,y gleich Null ist?
04.05.2010, 18:34	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung mit zwei Unbekannten Ein weiteres Ergebnis ist x = $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ y = 0 und nein, eine Gleichung mit 2 Unbekannten hat meistens seeeehr viele Ergebnisse. Überleg dir einfach, warum es falsch war die x=y zu setzen
04.05.2010, 18:43	NastyNat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das habe ich natürlich vermutet, doch war es für mich die einfachste Lösung, jedoch nicht die vollständige. Doch wie kann ich nun alle x und y bestimmen, für die die Gleichung Null ergibt? Oder kann ich x, y bestimmen, für die, die Gleichung ungleich Null ist?
04.05.2010, 18:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left( 3x^2 + y^2 - 1 \right) \left( x^2 + 3y^2 - 1 \right) - (2xy)^2 = 0 \end{eqnarray}$ Wenn du $\begin{eqnarray} x^2 = u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y^2 = v \end{eqnarray}$ substituierst, erhältst du links eine quadratisches Polynom in $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ . Es kann faktorisiert werden. Ein Faktor ist $\begin{eqnarray} u + v - 1 \end{eqnarray}$ . Und der andere? $\begin{eqnarray} \left( u + v - 1 \right) \left( au + bv + c \right) = 0 \end{eqnarray}$ Einfach ein bißchen probieren, bis du es hast.
04.05.2010, 19:28	NastyNat	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke. ich habe nun (u+v-1)(3u+3v-1)=0 Das heißt für u+v=1 bzw. u=1-v bzw. für $\begin{eqnarray} x= \sqrt{1-y^{2} } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y\in \left[-1,1\right]\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} y=\sqrt{1-x^{2} } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in \left[-1,1\right]\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ wird die erste Klammer Null und für $\begin{eqnarray} x=\sqrt{\frac{1}{3} -y^{2} } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y\in \left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right] \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} y=\sqrt{\frac{1}{3} -x^{2} } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in \left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right] \end{eqnarray}$ die zweite. Sind damit alle x,y bestimmt, für die die Gleichung Null wird? Ist meine Darstellung für x,y eindeutig genug?
04.05.2010, 19:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Faktorisierung stimmt, die Auflösungen allerdings nur teilweise. So fehlt $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ und im zweiten Fall stimmen auch die Intervalle nicht. Aber ich glaube, es wäre sowieso besser, statt hier nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ aufzulösen, geometrisch zu beschreiben, was das Nullsetzen der einzelnen Faktoren für Figuren liefert.
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04.05.2010, 19:53	NastyNat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, das war etwas ungenau. Ich schätze es liefert mir Kreise um den Nullpunkt mit Radius 1 im ersten Fall und Radius 1/3 im zweiten Fall. Wenn ich nun x und y als Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \mathbb\in R ^{2} \end{eqnarray}$ auffasse, Sind das Kugeln mit dem entsprechendem Radius.
04.05.2010, 19:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der zweite Radius stimmt nicht. Und wieso auf einmal Kugeln? Wir sind im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ ! Nein, sondern diejenigen Punkte $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} \det(J)=0 \end{eqnarray}$ erfüllen, bilden zwei konzentrische Kreise um den Nullpunkt.
05.05.2010, 11:40	NastyNat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, zweite Radius beträgt natürlich Wurzel1/3 und im zweidimensionalen sind es Kreise. Perfekt! Vielen, vielen Dank!

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