Kongruenzrelationen

04.05.2010, 19:43

Mulder

Kongruenzrelationen

Hallo,

Sei U eine Untergruppe einer abelschen Gruppe V (Verknüpfung +). Zu zeigen ist nun:

$\begin{eqnarray*} \text{Eine Untergruppe } S \subset V \text{ ist genau dann ein Repräsentantensystem der Faktorgruppe } V/U , \text{ wenn } S \cap U = \{0\} \text{ und } S+V=U \text{ gilt}. \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt nicht genau, inwiefern alle Begrifflichkeiten klar sind. Ansonsten bitte nachfragen. Wir haben definiert die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \pi: A \to \overline{A} \, , \quad a \mapsto \overline{a} \end{eqnarray*}$

als die kanonische Projektion von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$ , wobei eben dann $\begin{eqnarray*} \overline{a} \end{eqnarray*}$ die Äquivalenzklasse zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bezüglich einer Relation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ sein soll. $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$ ist dann eben die Menge aller Äquivalenzklassen. Und nun heißt bei uns eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} S \subset A \end{eqnarray*}$ ein Repräsentantensystem von $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$ , wenn die Einschränkung

$\begin{eqnarray*} \pi |_S : S \to \overline{A} \, , \quad r \mapsto \overline{r} \end{eqnarray*}$

bijektiv ist. Was auch heißt, dass zu jedem $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} r \in S \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} a \sim r \end{eqnarray*}$ .

Jedenfalls machen mir beide Richtungen Probleme. Wenn ich mit $\begin{eqnarray*} s \in S \end{eqnarray*}$ annehme, dass

$\begin{eqnarray*} \pi |_S : S \to V/U \, , \quad s \mapsto \overline{s} \end{eqnarray*}$

bijektiv ist, wie komme ich dann auf $\begin{eqnarray*} S \cap U = \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S+V=U \end{eqnarray*}$ ? Für den ein oder anderen Tipp wäre ich da sehr dankbar, dieser Kram mit dem Kongruenzrelationen ist anfangs doch etwas verwirrend. smile

05.05.2010, 10:36

Reksilat

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RE: Kongruenzrelationen
Hi Mulder,

Sollte es nicht eher $\begin{eqnarray*} S+U=V \end{eqnarray*}$ sein? Augenzwinkern

____________

Nehmen wir doch zuerst an, dass $\begin{eqnarray*} \pi_{|S} \end{eqnarray*}$ bijektiv ist.

Angenommen, es gäbe ein $\begin{eqnarray*} 0\neq s\in S\cap U \end{eqnarray*}$ , worauf würde das unter $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ abgebildet werden?

Für den zweiten Teil dieser Richtung nimm Dir ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ und betrachte $\begin{eqnarray*} \overline{v}=v+U\in V/U \end{eqnarray*}$ . Dieses Element der Faktorgruppe besitzt wegen der Surjektivität ja ein Urbild in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

Gruß,
Reksilat.

05.05.2010, 12:57

Mulder

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RE: Kongruenzrelationen

Zitat:

Original von Reksilat

Sollte es nicht eher $\begin{eqnarray*} S+U=V \end{eqnarray*}$ sein?

Ups, ja, stimmt natürlich.

Zitat:

Original von Reksilat
Angenommen, es gäbe ein $\begin{eqnarray*} 0\neq s\in S\cap U \end{eqnarray*}$ , worauf würde das unter $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ abgebildet werden?

Auf die Äquivalenzklasse zu s, also auf s+U. Wir haben die auch so definiert (für a aus A):

$\begin{eqnarray*} \overline{a} = \{ a' \in A \, | \, a'-a \in U \} \end{eqnarray*}$

Kann man jetzt irgendwie folgern, dass s auf zwei unterschiedliche Äquivalenzklassen zugleich abgebildet wird? Wenn s in der Schnittmenge von S und U liegt, wäre das ja irgendwie gleichermaßen

$\begin{eqnarray*} \overline{s} = \{ s' \in S \, | \, s'-s \in U \} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \overline{s} = \{ u' \in U \, | \, u'-s \in U \} \end{eqnarray*}$

Tut mir leid, ich hänge da immer noch etwas fest... verwirrt

Edit: Ist pi denn immer linear? Dann wäre ja pi(0) immer 0...

05.05.2010, 13:01

Reksilat

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RE: Kongruenzrelationen
Vielleicht solltest Du Dir zuerst auch überlegen, was $\begin{eqnarray*} \pi(0) \end{eqnarray*}$ genau ist. Schreib Dir auf, wie es definiert ist und dann siehst Du es schon.

Anschließend vergleiche diese Menge mal mit dem $\begin{eqnarray*} \overline{s} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

05.05.2010, 13:29

Mulder

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RE: Kongruenzrelationen
Ich muss ja grad eine üble Blockade haben...

$\begin{eqnarray*} \pi(0) = \overline{0} = U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi(s) = \overline{s} = s+U \end{eqnarray*}$

Da sollte ich jetzt was sehen, sagst du?

05.05.2010, 13:40

Reksilat

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RE: Kongruenzrelationen
Dein s liegt doch in U, also ist die Menge $\begin{eqnarray*} s+U=? \end{eqnarray*}$

05.05.2010, 13:46

Mulder

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RE: Kongruenzrelationen
Ach so, wegen der Abgeschlossenheit sind das die gleichen Mengen?

Also ist $\begin{eqnarray*} \pi(s) = \pi(0) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} s \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ dann nicht mehr injektiv.

05.05.2010, 13:49

Reksilat

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RE: Kongruenzrelationen
Genau! Freude

Wenn $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ ist, so ist auch $\begin{eqnarray*} u-s\in U \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} u=s+(u-s)\in s+U \end{eqnarray*}$ . Andersrum analog, und damit: $\begin{eqnarray*} U=s+U \end{eqnarray*}$ .

05.05.2010, 15:42

Mulder

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RE: Kongruenzrelationen
Danke dir, dann ist das schon mal klar.

Beim zweiten Teil versuche ich erst mal, das so ein bisschen in Worte zu fassen. Im Falle von S+U=V und wenn der Schnitt nur die 0 enthält, liegt hier doch eine direkte Summe vor, also

$\begin{eqnarray*} S \oplus U = V \end{eqnarray*}$

Das heißt, zeigen müsste ich nun, dass sich zu jedem $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ die zugehörige Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} \overline{v} \end{eqnarray*}$ auch schreiben lässt als die Summe je einer Äquivalenzklasse eines Elementes aus S und eines Elementes aus U. Habe ich das so ungefähr richtig verstanden? Ich fürchte, dass mir manchmal die Begrifflichkeiten noch Schwierigkeiten machen.

Wenn ich erstmal einsetze, erhalte ich erstmal, dass esfür jedes v aus V ein s aus S gibt mit

$\begin{eqnarray*} \pi(v) = \overline{v} = v+U = s+ U = \overline{s} = \pi(s) \end{eqnarray*}$

Etwas ausführlicher jetzt. Stecken da jetzt schon Fehler drin?

05.05.2010, 15:49

Reksilat

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RE: Kongruenzrelationen

Zitat:

Original von Mulder
Das heißt, zeigen müsste ich nun, dass sich zu jedem $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ die zugehörige Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} \overline{v} \end{eqnarray*}$ auch schreiben lässt als die Summe je einer Äquivalenzklasse eines Elementes aus S und eines Elementes aus U.

Die Äquivalenzklassen von Elementen aus U sind immer U selbst. Zu zeigen ist, dass sich jedes Element aus V als Summe eines Elements aus S und eines Elements aus U schreiben lässt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \pi(v) = \overline{v} = v+U = s+ U = \overline{s} = \pi(s) \end{eqnarray*}$

Das ist etwas irritierend. In dieser Reihenfolge ist die Argumenation nicht genau nachzuvollziehen.
An welcher Stelle genau verwendest Du zum Beispiel die Surjektivität?

Wichtig ist das Resultat v+U=s+U für ein geeignetes s. Damit bist Du dann eigentlich schon fertig.

05.05.2010, 15:58

Mulder

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RE: Kongruenzrelationen

Zitat:

Original von Reksilat
Die Äquivalenzklassen von Elementen aus U sind immer U selbst.

Ich sehe gerade, dass ich genau das ja eigentlich oben auch schon mit deiner Hilfe rausgefunden hatte. Okay, war jetzt etwas blöde...

Zitat:

Original von Reksilat
An welcher Stelle genau verwendest Du zum Beispiel die Surjektivität?

Also, zu $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ ist die Äquivalenzklasse doch $\begin{eqnarray*} \overline{v} = v+U \end{eqnarray*}$ . Da diese aber auch ein Urbild in S hat, muss es doch auch ein s aus S geben mit

$\begin{eqnarray*} \pi(s) = v+U \end{eqnarray*}$

Und nach Definition ist doch $\begin{eqnarray*} \pi(s) = s+U \end{eqnarray*}$

Woraus dann die Gleichheit folgt.

Schlimm ist, dass du jetzt sagst, ich sei fertig, ich das aber gar nicht wirklich ernenne. Wenn es zu jedem v aus V ein s aus S derart gibt, dass

$\begin{eqnarray*} s+U = v+U \end{eqnarray*}$

gilt, warum folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} S+U=V \end{eqnarray*}$ ist?

Oder kann ich vielleicht nutzen, dass für jedes Element u aus U gilt, dass u+U=U sein muss? Vielleicht so?

$\begin{eqnarray*} v+U = s+U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v+U = s+(u+U) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v+U = (s+u)+U \end{eqnarray*}$

05.05.2010, 16:57

Reksilat

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RE: Kongruenzrelationen
Nein, des am Ende bringt Dich nicht weiter.
Aber es ist doch $\begin{eqnarray*} v\in v+U \end{eqnarray*}$ . (Schreib Dir die Menge hin, dann siehst Du es.)
Damit $\begin{eqnarray*} v\in s+U \end{eqnarray*}$ und mit einem kleinen Schritt hast Du es.

05.05.2010, 17:20

Mulder

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RE: Kongruenzrelationen

Zitat:

Original von Reksilat
Damit $\begin{eqnarray*} v\in s+U \end{eqnarray*}$ und mit einem kleinen Schritt hast Du es.

Okay, das ist dann ja wirklich nur noch ein sehr kleiner Schritt. Danke für deine geduldige Hilfe, diese Aufgabe war irgendwie ein rotes Tuch für mich. Die Rückrichtung schaffe ich hoffentlich alleine.

Danke! Wink

06.05.2010, 13:13

Mulder

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RE: Kongruenzrelationen
Okay, die Rückrichtung war dann nicht mehr das Problem. Aber beim zweiten Teil der Aufgabe nochmal eine Frage:

Sei V der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] und U der Untervektorraum aller f aus V mit f(0) = f(1).

Finden soll ich nun einen eindimensionalen Untervektorraum $\begin{eqnarray*} S \subset V \end{eqnarray*}$ , der die gleichen Bedingungen wie im ersten Aufgabenteil erfüllt. Also

$\begin{eqnarray*} S+U = V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S \cap U = \{0\} \end{eqnarray*}$ (also die Nullfunktion)

Folgern soll ich daraus auch, dass dim V/U =1 ist (das wäre dann wohl nicht mehr schwer, Dimensionsformel und fertig).

Aber so ein S zu finden ist dann ja doch etwas schwieriger. S muss eindimensional sein und in der direkten Summe mit U ja gerade wieder V ergeben.

Wie ich die Dimension von S auf 1 runterkriegen soll, weiß ich noch nicht so ganz. V und U jedenfalls haben wohl keine endliche Basis. Ein erster Gedanke war einfach die Menge der linearen Funktionen durch den Nullpunkt. Aber ob dann die Vereinigung von S und U wieder V ergeben würde...

verwirrt

06.05.2010, 14:27

Reksilat

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RE: Kongruenzrelationen
Eigentlich weißt Du schon alles - es wird ja in der Aufgabenstellung quasi vorgegeben. Augenzwinkern

Wenn V/U eindimensional sein soll, dann wird V/U ja auch von jedem beliebigen nichttrivialen Element aus V/U erzeugt.
Du musst jetzt also nur einen Repräsentanten für solch ein nichttriviales Element aus V/U finden. Dieser Repräsentant erzeugt dann ein S und es bleibt zu zeigen, dass die beiden obigen Bedingungen erfüllt sind.

Dimensionsformel ist übrigens nicht ganz so hilfreich, da V ja unendlichdimensional ist.

Gruß,
Reksilat.

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