Berührpunkte eines Kreises mit einer Parabel |
| 04.05.2010, 20:32 | IW115 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Berührpunkte eines Kreises mit einer Parabel Also, es geht um Folgendes: ein Kreis liegt in einer Parabel der form y=x^2. Der Kreis hat daher zwei Berührpunkte mit der Parabel. Welche höhe hat der Mittelpunkt des Kreises? Weiter Information: Der Radius des Kreises is genau 1. Meine Ideen: Ich weiß das die Kreisgleichung (x-m)^2+(x-n)^2=r^2 ist und zudem das der Radius 1 ist. Weiter weiß Ich das der Kreis die Parabel y+x^2 an zwei stellen Berührt. Da beide beides gerade Funktionen sind (Kreis ist zwar keine Funktion, aber symetrisch in der y- Achse) kann ich mich nur auf die rechte Seite der y- Achse beziehen. Weiter weiß ich das der Kreis und die Parabel den gleichen Steigungswert am Berührpunkt haben, also y=2x. Nun würde Ich vorschlagen müsste man iergendwie diesen Punkt (wieauchimmer... keine Ahnung) herausfinden und eine Geradengleichung aufstellen und zu dieser eine normale finden. Die stelle wo die Normale die y-Achse schneidet ist (0,h) wo h die höhe des Mittelpunkt des Kreises ist... Wie aber bestimme ich den Berührpunkt? Ganz dringend Hilfe gesucht. Danke |
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| 04.05.2010, 23:05 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da die ganze Anordnung symmetrisch zur y-Achse ist, hat der Kreis auch eine besondere Gleichung, denn sein Mittelpunkt liegt auf der y-Achse: M(0; n) --> Schneide den Kreis nun mit der Parabel und berücksichtige dabei, dass wegen der Berührung die quadratische Gleichung (in y) eine Doppellösung haben muss (Diskriminante = 0 !). Dadurch gewinnst du mit einem Schlag n und gleichzeitig auch die Koordinaten des Berührungspunktes! mY+ |
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| 05.05.2010, 00:54 | I'W115 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, das verstehe ich nun nicht wirklich... Die Kreisgleichung x^2+(y-n)^2=1 habe ich schon hinbekommen aber mit dem Rest der Antwort kann ich leider nicht viel anfangen. Denn sollte die Diskriminante eben nicht 0 sein weil es eben zwei Berührpunkte gib... Und auserdem, wenn ich nun x^2 in der Kreisgleichung mit y ersetzte (von der Parabel y=x^2), bekomme ich einen Ausdruck der y und n enthält und ich für keinen dieser beiden lösen kann... Entschuldigung, vieleicht steh ich im Moment so richtig auf dem Schlauch. |
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| 05.05.2010, 08:39 | Rechenschieber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der Tat ist es zunächst schwer zu verstehen. Was mYthos zum Ausdruck bringen wollte ist folgender Sachverhalt, betrachtet an einer Normalparabel: (Lösung einer quadr. Gleichung) Ist die Diskriminante = 0 (Null), so hast du eine Berührstelle wie bei y=x² Ist sie größer 0, so ergeben sich zwei Schnittstellen wie bei y=x²-1 Ist sie kleiner 0, so ergeben sich keine Schnittstellen wie bei y=x²+1 Die Parabel ist also entlang der Ordinate verschoben worden. Wenn nun dein Kreis die Parabel nur berühren soll, muss eben diese Diskriminante ( also der Wert unter der Wurzel), (a/2)² - b (wenn gilt x²+ax+b=0) Null sein. Nun gibt es aber auch eine Lösung, auf die ich direkt gestoßen bin: Würdest du beide Gleichungen (Parabel und Halbkreis) einmal ableiten, und dann beide Steigungen gleichsetzen, so kannst du die Berührstelle direkt ermitteln. Zunächst die x-Koordinate. Da n in der Kreisgleichung der Abschnitt auf der Ordinate und ein konstantes Glied ist, fällt es beim Ableiten heraus. Offensichtlich ist auch der untere Halbkreis, den es zu differenzieren gilt, da die Parabel nach oben geöffnet ist. Anschließend kannst du dann die restlichen Koordinaten leicht herausfinden. Die Normale des Kreises im Berührpunkt schneidet sich mit der Ordinate im Kreismittelpunkt. Die Werte sind verblüffend einfach, die man nicht dezimal angeben muss. @mYthos: kommt der Vorschlag von mir verfrüht, oder konntest du nicht weitermachen? LGR |
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| 05.05.2010, 11:57 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@RS Es ist schon so in Ordnung, man kann ja immer versuchen, ein Problem auf eine andere Weise anzugehen, falls man auf einem bestimmten Weg nicht weiterkommt. Und ausserdem wollte ich nächtens nicht 2 Stunden warten, bis sich der Fragesteller wieder meldet, das ist doch verständlich. Meist bin ich ja nachts ohnehin lange genug aktiv. _________________ Der Weg mit der Diskriminante ist geradezu einfach. Normalerweise hat ein Kreis mit der Parabel 4 Schnittpunkte, wobei aber nur zwei y-Werte voneinander verschieden sind. Daher gibt es eine quadratische Gleichung in y. Im Falle der Berührung darf es aber nur einen y-Wert geben, daher muss die Diskriminante in der quadratischen Gleichung für y zu Null werden. Setzen wir doch einfach in die Kreisgleichung ein, also ersetzen wir und lösen nach y (n ist dabei als Konstante zu betrachten): Wie lautet nun die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung? Beim Nullsetzen ergibt sich eine einfache Gleichung (nur) in n. Wenn dann nun n bekannt ist, kann man dieses nochmals in die Lösung der quadratischen Gleichung einsetzen, es folgt daraus nur das eine y (des Berührungspunktes)! Beachte: Nur ein y-Wert, den die Wurzel muss sich ja zu Null ergeben. Der x-Wert folgt aus der Parabelgleichung. mY+ |
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| 05.05.2010, 12:25 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wieso sollte n herausfallen 
ich vermute eher folgendes ergebnis: ich schließe mich der meinung von mythos an: der weg über die diskriminante ist doch viel einfacher 
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| 05.05.2010, 13:20 | Rechenschieber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke mY+. Genauso sieht meine Zeichnung auch aus. Da ich "Latex"-scheu bin, versuche ich es so: Normalerweise bezeichne ich die Mittelpunktskoordinaten mit a und b. Also ist b=n. Leite ich den unteren Halbkreis ab, erhalte ich: siehe Bild. Diese Ableitung setze ich mit 2x der Parabel gleich. Egal, ob ich die Parabel oder den Kreis in y-Richtung verschiebe, die Steigungen beider Graphen sind in dem Berührpunkt gleich. Deshalb fällt auch beim Kreis durch das Ableiten auch n heraus. Dasselbe würde geschehen, wenn die Parabel um b bzw. n Einheiten nach oben oder unten verschoben würde. Somit ist x= + - (Wurzel aus 3)/2 Ich hätte mich ja gar nicht gemeldet, wenn ich nicht selbst zu dieser Erkenntnis gelangt wäre und mich dieser Thread insbesondere interessiert hat. LGR |
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| 05.05.2010, 13:53 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man hat im Resultat von riwe lediglich noch für den positiven Ausdruck einzusetzen (mit y < n wird die Steigung positiv). mY+ |
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| 05.05.2010, 13:58 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dass man für y - n einsetzen kann, ist (sogar mir) klar gewesen, aber die begründung von RS: "... da n ... ein konstantes glied ist, fällt es beim ableiten heraus ..." ist zumindest fragwürdig 
und es bleibt die frage: wieso soll das einfacher sein
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| 05.05.2010, 16:26 | I'W115 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, glaube ich habe es nun kapiert... Meine Diskriminante hat die Form b^2-4ac=0... nun setzte ich nur ein... (1-2n)^2- 4(1)(n^2-1)= 0 die zwi 4n^2 (positiv und negativ) fallen raus und somit bleibt übrig : 5=4n und somit ist n gleich 5/4 oder 1.25. Daraus folgt das die höhe des Kreises 1.25 ist. Vielen Dank |
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