Eine Lustige Vektoraufgabe

Neue Frage »

Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Lustige Vektoraufgabe
Hallo!

Ich brauch eure Hilfe bei dieser Aufgabe:

In der welt der punkte auf der x1-Achse gibt es einen Sperrbezirk. Jeder Punkt, der sich dem Punkt S (4/2/1) auf mehr als 3 LE nähert, bezahlt mit dem Leben. Wo befindet sich die Todeszone?


also meine Überlegungen:

gedanklich legt man eine gerade durch den Punkt S. dort wo der Abstand weniger als 3 ist, befindet sich der Sperrgebiet.

aber leider haben wir noch keine geraden in Vektorform.

Was für möglichkeiten gibt's bei dieser Aufgabe?

Vielen dank für eure Hilfe!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst hier eigentlich nur den Abstand der Punkte S und P(Punkt auf der x1-Achse) gleich 3 setzen und dann folgern, wo die "Todeszone" liegt.

Welche Koordinaten wird wohl der Punkt P haben ?

Danach nur in die Abstandsformel einsetzen und nach der einen Unbekannten auflösen.

Reicht dir das als Hilfe ?

Gruß Björn
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich dann nicht 3 Unbekannte?
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

und wie lautet denn die abstandsgleichung? -formel
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss leider ergänzen, dass wir noch keine abstandsformel besprochen haben, wir sind nämlich ziemlich am anfang der vektorrechnung.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abstandsformel d zweier Punkte ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras Augenzwinkern

Im Dreidimensionalen lautet sie für zwei Punkte A(a1/a2/a3) und B(b1/b2/b3) :




Zitat:
Hab ich dann nicht 3 Unbekannte?


Nee, nur eine. Denn wenn ein Punkt P(p1/p2/p3) auf der x1-Achse liegt, kennt man auf jeden Fall schonmal p2 und p3.

Kriegst du es jetzt hin?

Gruß Björn
 
 
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

also bei mir kommt dann nach dem auflösen für x1= 1,5 raus.

Ich hab doch jetzt die zwei Punkte

P(1,5/0/0) und S(4/2/1)


Wie bestimmt man dann die "Todes"Zone?

Eine geometrische lösung wäre ja dann, der Kreis um den Punkt P mit (1,5/0/0), oder?

oder ist die Lösung einfach nur P(1,5/0/0)? denn von S aus ist nur P um 3 LE entfernt, also in tödlicher Gefahr...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Durch Einsetzen in die obige Formel entsteht eine quadratische Gleichung, die zwei Lösungen hat...demnach haben auch zwei Punkte auf der x-Achse den Abstand 3 von S.

Wenn du diese zwei Punkte raushast mach dir dochmal eine Skizze und stelle dir dann vor für welches Intervall (auf der x1-Achse) die Entfernung kleiner als 3 LE wird.

Weisst du was ich meine ?

Gruß Björn
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe bei der quadratischen gleichung

x1= 6 x2= 2 raus


d.h. zwischen 2 und 6 ist diese Todeszone.

stimmt's?

Super vielen Dank für deine Hilfe!!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Klasse !!!

Du hast es geschafft Freude

Gruß Björn
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe bei der ersten lösung das x² ausversehen weggelassen.... unglücklich

naja jetzt hab ich's ja!
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

weil das so toll geklappt hat (!!!) kommt meine zweite Frage:

Bestimme einen Vektor, der senkrecht zu (1/2/3) ist und die Länge 4 hat.


Zwei Ansätze habe ich schon raus, dann fehlt mir halt der Rest.

Ges.: (a1/a2/a3)

1.) da sie senkrecht verlaufen sollen, muss hier das Saklarprodukt angewandt werden:

(a1/a2/a3) * (1/2/3)= a1 + 2*a2+ 3*a3= 0


√ (a1)² + (a2)² + (a3)² = 4

(a1)² + (a2)²+ (a3)²= 16



Jetzt weiß ich nicht, wie ich mithilfe diesen Ansätzen zur Lösung komme!
Ich hab mir natürlich etwas mehr Gedanken darüber gemacht:

Kann ich eigentlich a1 oder a2 oder a3 frei auswählen, wenn ja dann hab ich noch eine Idee:

Ich nehme jetzt an a1= 0, dann Könnte ich die erste Gleichung nach a2 auflösen, dann erhält man:

(a1=0) ---> a2= -1,5a3

Dann wieder in die erste Gleichung:

0 + 2*(-1,5)a3 + 3* a3=0
0=0

Dann kommt so was dummes raus.


Bitte hilft mir weiter!! DANKE!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rabia13
√ (a1)² + (a2)² + (a3)² = 4

(a1)² + (a2)²+ (a3)²= 16

Die 2. Gleichung ist richtig. Was die 1. Gleichung soll, weiß ich nicht.

Zitat:
Original von Rabia13
Kann ich eigentlich a1 oder a2 oder a3 frei auswählen, wenn ja dann hab ich noch eine Idee:

Im Prinzip ja, solange ein sinnvolles Ergebnis rauskommt.

Zitat:
Original von Rabia13
Dann wieder in die erste Gleichung:

0 + 2*(-1,5)a3 + 3* a3=0
0=0

Dann kommt so was dummes raus.

Nee, wieso? Du hast a2 aus der 1. Gleichung ermittelt, also sollte etwas wahres rauskommen, wenn du das dort wieder einsetzt. Ich würde das a2 mal in die 2. Gleichung einsetzen. Augenzwinkern
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

also 1. Gleichung:

Wurzel aus a1²+ a2²+ a3²= 4 oder

a1²+ a2²+ a3²= 16

die 2. Gleichung:

a1+ 2*a2+ 3*a3= 0


Da ich schon für a1=0 gewählt habe, und -1,5a3= a2 ermittel habe, hab ich das in Gleichung 1.1 eingesetzt, und auch 16 erhalten:

0+ (-1,5a3)² + a3²= 16
a3= ungefähr 2,22 Wurzel aus 64/13

aber in Gleichung #2 kommt nicht Null raus!

was mache bloß falsch?.
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

habe ich das richitg gemacht oder sind da rechenfehler drin oder is alles irgendwie voll daneben?

muss man die Gleichung #1 und #2 in Einklang bringen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimme einen Vektor, der senkrecht zu (1/2/3) ist und die Länge 4 hat.

Ges.:

1.) da sie senkrecht verlaufen sollen, muss hier das Saklarprodukt <,> angewandt werden:



2) Für die Länge eines Vektor Brauchen wir eine Norm - z.B. die euklidische. Dann ist:



Das sind dann deine beiden Gleichungen. Mal der "besseren" Übersicht halber. Ich rechne jetzt mal nach.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst aus a3 noch a2 berechnen (= rd. -3,33), wenn du das dann einsetzt, passt es doch!

Du weisst aber schon, dass es unendlich viele Lösungsvektoren geben muss.... ?

mY+
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

I

II

Was nun sowohl rechnerisch als auch anschaulich auffällt, ist die Tatsache, dass das Problem so noch nicht endeutig lösabar ist.

rechnerisch: 2 Bedingungen für 3 unbekannte

anschaulich: Wo soll der Vektor a liegen?

Das hattest Du ja auch schon bemerkt. Augenzwinkern

In einer "mathematisch" formulierten Antwort würde man z.B. so beginnen.
Sei beliebig und gibt dann in Abhängigkeit von an.

Du hattest dich wohl für den konkreten Wert entschieden. also machen wir damit mal weiter:

I


II

Aus I folgt:

II

also:


Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

so ungefähr habich auch gerechnet, aber hab ein bissle andere Zahlen raus.
aba dein ergebnis stimmt! Muchas gracias...

kann man hier x1 klug wählen, sodass x2 und x3 "schöner" aussehen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, dann mach mal den allgemeinen Ansatz für Augenzwinkern Dann kannst Du "sehen" ob es eine ganzzahlige Lösung überhaupt geben kann.

Schönheit liegt hier wohl im Auge des Betrachters. Findest Du Wurzeln nicht schön Augenzwinkern
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

wie soll das dann gehen?

soll man einfach so tun, als ob a1 eine Zahl wäre?

und dann so weitermachen wie du es vorgestellt hast, gel?

hab da aber so meine probleme....

muss ich dann nach a1 auflösen, als erstes und dann weiter machen oder ?!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir einen ansatz geben, bitte.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

I

II

Dannweiter wie vorhin.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Um solche nicht-linearen Gleichungssysteme zu umgehen, könntest du auch so ans Ziel kommen:

1. Denke dir einen beliebigen Vektor aus, der senkrecht zu ist.
(Falls du damit Probleme haben solltest, setze einfach eine Komponente des gesuchten Vektors null und passe die anderen Komponenten entsprechend an, so dass das Skalarprodukt beider Vektoren null wird)

2. Normiere diesen Vektor, also dividiere ihn durch seine Länge - dadurch hat er dann die Länge 1.

3. Multipliziere den normierten Vektor mit 4

Gruß Björn
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

also, das auch sehr trickreich!

ich hab mich jetzt mal mit meinem vorwissen an eine andere Aufgabe gewagt, bin aber nicht drauf gekommen, da fehlt mir die zweite Bedingung:


Ermittle (in Fig. 3) die Koordinaten der Punkte B und Q, die jeweils den Abstand d haben: (auf dem Bild wurde aus dem P ein B, also nicht wundern)

a) A(1/2/-2) , d=9

jetzt ein Bild dazu, ich versuchs mal als Dateianhang ...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht genauso wie in deinem anderen Thread, nur dass hier der Vektor OA bzw. AO als Richtungsvektor dient.

Gruß Björn
Rabia13 Auf diesen Beitrag antworten »

spielt hier also er einheitsvektor auch eine rolle?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Auf jeden Fall, denn du musst hier auch den Vektor OA normieren, also auf die Länge 1 bringen, um dann vom Punkt A aus 9 LE nach links bzw rechts gehen zu können um B und Q zu erhalten.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »