Analysis Induktion

04.05.2010, 21:26

Sarah19

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Analysis Induktion

Meine Frage:
die Folgen (Un) n element aus N0 und (Vn) n element aus N0 werden betrachtet
A) Zeige durch vollständige Induktion u0=0 un+1=un/2 +1/2
v0=2 vn+1=vn/2 +1/2
B) Zeigen sie (Un) ist monoton wachsend (Vn) monoton fallend
c) Warum sind (Un) und (Vn) konvergent
d)Sei (Wn) definiert durch Wn=Un-Vn Zeigen sie (Wn) konvergiert gegen 0
Hinweis: berechnen sie W0 und drücken sie Wn+1 in Abhänigkeit von Wn aus
E) Zeigen sie Grenzwert (Un) und (Vn) ist 1

Meine Ideen:
Induktion anfang für Un:
U1=1/2
U0+1=U0/2+1/2 => U1=1/2 also ist Induktionsanfang für n=0 wahr
ich verstehe nicht wie es weiter gehen soll

04.05.2010, 21:28

Iorek

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Was kommt denn bei einer Induktion nach dem Induktionsanfang? Und würde es dir etwas ausmachen unseren Formeleditor zu benutzen? Das liest sich bedeutend schöner smile

smile

04.05.2010, 21:59

Sarah19

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Induktionsschritt und Induktionsverankerung habe keinen ansatz wie ich das hier machen könnte Un ist ausserdem element aus (0,1) und Vn element aus (1,2)

04.05.2010, 22:00

Iorek

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Und wieso bleibst du nicht bei einem Namen?

Und die IV ist doch (bei diesen Aufgaben) eigentlich immer wortwörtlich zu übernehmen: Die Behauptung gelte für ein n € IN. Was musst du dann im Induktionsschritt zeigen?

04.05.2010, 23:22

Sarah19

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Un+2= Un+1/2 +1/2 aber wie geht das

04.05.2010, 23:26

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Und würde es dir etwas ausmachen unseren Formeleditor zu benutzen? Das liest sich bedeutend schöner smile

smile

Den Satz habe ich nicht geschrieben weil ich gerade Zeit dafür hatte...

Wende jetzt deine IV an.

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05.05.2010, 00:10

Sarah19

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$\begin{eqnarray*} <br /> Un+2= Un/2/2 +1/2<br /> Un+1+1 =Un/4 +1/2<br /> \end{eqnarray*}$
wie geht es weiter?

05.05.2010, 00:16

Iorek

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Ok...ich bin gerade zugegebenermaßen verwirrt...Was willst du hier beweisen? Was soll die erste Aufgabe? $\begin{eqnarray*} U_0=1,~U_{n+1}=\frac{U_n}2+\frac 12 \end{eqnarray*}$ ist eine Folge, die rekursiv definiert ist, was sollst du da beweisen? Hast du einen anderen expliziten Ausdruck für die Folge angegeben und sollst nun nachweisen, dass diese beiden äquivalent sind?

05.05.2010, 07:43

Sarah19

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Dies muss ich per vollständiger induktion beweisen

05.05.2010, 07:44

Sarah19

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$\begin{eqnarray*} <br /> U_{0}= 0 U_{n+1}=U_{n}/2 +1/2 <br /> \forall n \in \mathbb N (0,1) <br /> \end{eqnarray*}$

05.05.2010, 08:27

klarsoweit

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RE: Analysis Induktion

Zitat:

Original von Sarah19
Meine Frage:
die Folgen (Un) n element aus N0 und (Vn) n element aus N0 werden betrachtet
A) Zeige durch vollständige Induktion u0=0 un+1=un/2 +1/2
v0=2 vn+1=vn/2 +1/2

Ist das der Originaltext der Aufgabe? Aus dem, was da steht, kann man nicht entnehmen, wie jetzt die Folge (u_n) eigentlich definiert ist.
Oder das ist die Definition der Folge, dann braucht man aber in Aufgabe A nichts mehr zeigen.

Und warum meldest du dich zweimal an? verwirrt

verwirrt

05.05.2010, 09:27

Iorek

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Die Aufgabe ist in etwa so sinnvoll wie

"Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine reelle Folge. Zeige: $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb N\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ mittels vollständiger Induktion."

Die Folge ist rekursiv definiert über $\begin{eqnarray*} U_0=0,~U_{n+1}=\frac{U_n}2+\frac 12 \end{eqnarray*}$ , das müssen wir erstmal so hinnehmen, solange da keine Behauptung steht die du beweisen sollst brauchst du für Aufgabenteil A keine vollständige Induktion.

05.05.2010, 14:43

Sarah19

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http://img3.imageshack.us/img3/5931/blatt123.jpg
das ist die aufgabenstellung da steht das man es per vollständiger induktion beweisen soll

05.05.2010, 14:52

klarsoweit

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Das, was du im ersten Beitrag geschrieben hast, und das, was auf dem Blatt steht, weichen deutlich voneinander ab.

Gehe zurück zur Badstraße. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2010, 15:44

Sarah19

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und wie muss ich hier jetzt vorgehen^^

05.05.2010, 15:55

klarsoweit

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Erstmal genau aufschreiben:

Voraussetzung: ....

Behauptung: ....

Erst, wenn das sauber geklärt ist, kann man auch etwas beweisen.

05.05.2010, 16:12

Sarah19

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$\begin{eqnarray*} U_{n+2}=U_{n+1}/2 +1/2 \end{eqnarray*}$
aber wo setze ich jetzt die induktionsvoraussetzung ein
den induktionsanfang bekomm ich hin für Un aber für Vn nicht
ich weiss nicht wie ich es richtig umformen muss damit die induktionsvoraussetzung eingesetzt werden kann

05.05.2010, 16:23

lgrizu

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da klarsoweit off ist und du noch on......

der induktionsanfang für $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} n=0, v_0=2, v_1=1,5 \end{eqnarray*}$
was mich noch ein wenig irritiert, die intervalle (0,1) und (1,2) sind offen, also 0 liegt nicht mehr im intervall, aber u_0=0, ebenso ist v_0=2, aber auch das intervall ist nach oben offen.....

edit: ach so, vergessen:

$\begin{eqnarray*} u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nach vorraussetzung ist $\begin{eqnarray*} u_n<1 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \frac{u_n}{2}<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , den rest bekommst du sicher alleine hin..

05.05.2010, 17:09

Sarah19

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nee ich versteh nicht wie es weiter gehen soll sry

05.05.2010, 17:17

lgrizu

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wir vereinfachen die induktion mal darauf, dass wir zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} u_0=0, u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ kleiner als 1 ist (grösser 0 geht dann analog).

induktionsanfang:
n=0
$\begin{eqnarray*} u_0=0<1, u_1=\frac{1}{2}<1 \end{eqnarray*}$ .

Induktionsschluss:

nach annahme ist
u_n<1. es ist $\begin{eqnarray*} u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .mit u_n<1 ist $\begin{eqnarray*} \frac{u_n}{2}<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
damit ist $\begin{eqnarray*} \frac{u_n}{2}+\frac{1}{2}<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \end{eqnarray*}$

fertig.

analog kannst du das für u_n>0 und für die zweite folge machen.

05.05.2010, 17:26

Sarah19

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ok danke habe es verstanden aber bei dem aufgabenteil b) versteh ich nicht welche funktion ich nehmen muss um die monotonie zu beweisen weil ja nur Un+1 gegeben ist und nicht Un oder Vn

05.05.2010, 17:31

lgrizu

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das ist doch nicht schwer, ich sehe aufgabenteil b) nicht, ist nicht mit auf dem upload, aber du zeigst, dass $\begin{eqnarray*} u_{n+1}<u_n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} u_{n+1}>u_n \end{eqnarray*}$ durch geeignete umformungen.

edit: ich muss gleich los, schaue aber heut abend noch mal rein, vielleicht macht ja wer weiter....

05.05.2010, 17:33

Sarah19

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wäre die annahmen für die zweite folge
$\begin{eqnarray*} v_{0}=2\leq 2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} <br /> v_{1}=1.5\leq 2 \end{eqnarray*}$
was ich nicht ganz so verstanden habe ist voher du weisst das Un kleiner 1 ist weil Un ja gar nicht bekannt ist

05.05.2010, 17:34

Sarah19

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B) Zeigen sie (Un) ist monoton wachsend (Vn) monoton fallend
das ist der aufgabenteil b

05.05.2010, 17:39

lgrizu

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Zitat:

Original von Sarah19fds
was ich nicht ganz so verstanden habe ist voher du weisst das Un kleiner 1 ist weil Un ja gar nicht bekannt ist

das habe ich gerade mit induktion gezeigt.....

Zitat:

Original von Sarah19fds
wäre die annahmen für die zweite folge
$\begin{eqnarray*} v_{0}=2\leq 2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} <br /> v_{1}=1.5\leq 2 \end{eqnarray*}$

das ist nicht die annahme, das ist der induktionsanfang.

05.05.2010, 18:09

Sarah19

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was wäre die annahme?

05.05.2010, 18:21

lgrizu

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annahme ist v_n<2

05.05.2010, 18:22

Sarah19

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aber v0=2 wäre dan ja nicht kleiner als 2

05.05.2010, 18:24

lgrizu

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genau das habe ich auch vorhin schon bemerkt, dass es mich irritiert, dass die intervalle offen sind, also 2 nicht im intervall (0,2) liegt, aber v_0=2 ist.

05.05.2010, 18:25

Sarah19

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wäre das der induktionsschluss Vn/2 +0.5 <1+0.5=1.5
weil Vn<2 und Vn/2< 1

05.05.2010, 18:27

lgrizu

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noch sauber aufschreiben (nach vorraussetzung ist....usw.), aber ja, so geht das.

05.05.2010, 20:20

Sarah19

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aber was ist der ansatz für die frage b)

05.05.2010, 20:35

lgrizu

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kann man wieder mit induktion machen:

Annahme:
$\begin{eqnarray*} u_n \leq u_{n+1} \end{eqnarray*}$

IA:
n=0
$\begin{eqnarray*} u_0=0 \leq \frac{1}{2}=\frac{0}{2} + \frac{1}{2}=u_1 \end{eqnarray*}$

bekommst du den schluss selbst hin?

05.05.2010, 20:46

Sarah19

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ich kenne es nur so das ich an+1-an mache
und das ergebniss dan untersuche auf monoton fallend oder wachsend
kennst du auch den ansatz für diesen weg?

05.05.2010, 20:49

lgrizu

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das wird nicht funktionieren, da u_n und v_n ziemlich gleich aussehen und sich nur durch ihre startwerte unterscheiden und dadurch natürlich auch die folgen unterschiedlich sind.
also noch mal induktion...

05.05.2010, 21:22

Sarah19

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$\begin{eqnarray*} u_n \leq u_{n+1} \end{eqnarray*}$
ist diese annahme für monoton wachsend oder fallend
und nee ich bekomm den schluss nciht hin sry

05.05.2010, 21:26

Iorek

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Diese Frage solltest du dir eigentlich selbst beantworten können, welches Folgenglied kommt zuerst, soll diese also größer oder kleiner als das darauf folgende Folgenglied sein?

Und einfach nur schreiben, dass du den IS nicht schaffst reicht hier nicht, an welcher Stelle genau hängst du? Wo kommst du nicht weiter? Wie hast du bisher umgeformt?

05.05.2010, 21:33

Sarah19

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ich verstehe nicht warum bei der 1 induktion Un< 1 war aber jetzt Un < 1/2 ist
$\begin{eqnarray*} u_{n} \leq0.5 <br /> u_{n} /2\leq 1/4<br /> 0.5\leq 1/4+1/2 \end{eqnarray*}$
so würde mein induktionsschluss aussehen

05.05.2010, 21:34

Sarah19

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und ich würde sagen kleiner gleich bedeutet wachsend oder?

05.05.2010, 21:37

Iorek

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Zitat:

Original von Sarah19fds
ich verstehe nicht warum bei der 1 induktion Un< 1 war aber jetzt Un < 1/2 ist
$\begin{eqnarray*} u_{n} \leq0.5 <br /> u_{n} /2\leq 1/4<br /> 0.5\leq 1/4+1/2 \end{eqnarray*}$
so würde mein induktionsschluss aussehen

Überleg bitte nochmal ganz genau was du damit zeigen willst.

Und es ist nicht $\begin{eqnarray*} U_n<\frac 12 \end{eqnarray*}$ sondern nur $\begin{eqnarray*} 0=U_0<\frac 12 = U_1 \end{eqnarray*}$ im Induktionsanfang.

Edit: Maaan, Igrizu, warum seh ich nie dass du noch online bist? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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