Stetigkeit einer Umkehrabbildung

04.05.2010, 21:38

axiom_09

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Stetigkeit einer Umkehrabbildung

Hallo, ich wollte gerne wissen, ob einer mir sagen könnte, wie man die folgende Aufgabe bzgl. der Stetigkeit einer Umkehrabbildung beweisen könnte?
Ich wäre für jede Hilfe sehr dankbar.

Es sei $\begin{eqnarray*} I \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (M, d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum und $\begin{eqnarray*} f: I \to M \end{eqnarray*}$ eine bijektive stetige Abbildung. Ist dann auch die Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} f^{-1} : M \to I \end{eqnarray*}$ stetig?

Viele Grüße
axiom_09

04.05.2010, 21:46

akechi90

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Die Aufgabe hast du schon mal gepostet. Was hättest du denn für Ideen anzubieten? Denkst du, die Aussage ist wahr oder falsch? Kannst du dir einen Beweis oder ein Gegenbeispiel vorstellen?

Gruß,
Carsten

04.05.2010, 21:51

axiom_09

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Ich wusste nicht, dass ich die Aufgabe schon mal gepostet hatte...Sorry deshalb.
Desweiteren weiss ich, dass die Umkehrabbildung auch stetig sein müsste, wenn ja f stetig, bijektiv ist. Nur ich weiss leider nicht, wie ich dass beweisen soll.
Deshalb hoffe ich auf Unterstützung.

04.05.2010, 21:54

akechi90

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Ok, ich gebe ein wenig Hilfestellung. Aber zuerst: Welche Eigenschaften müssen eure Intervalle besitzen? Abgeschlossen, offen, halboffen?
Überraschenderweise hängt nämlich die Antwort auf besagte Frage auf empfindliche Weise davon ab.

04.05.2010, 21:59

axiom_09

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Wir haben bis jetzt alle Formen von Intervallen betrachtet gehabt. D.h. sowohl offene als auch geschlossene.
Es könnte sich hier nehme ich an um ein geschlossenes Intervall handeln.

04.05.2010, 22:09

akechi90

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Gut - fang am besten mit den halboffenen Intervallen an - fällt dir eine Möglichkeit ein, ein halboffenes Intervall irgendwie bijektiv in einen metrischen Raum abzubilden, sodass die Umkehrabbildung nicht stetig ist? Wenn du ein Gegenbeispiel gefunden hast, übertrag es auf offene Intervalle.

Bei abgeschlossenen Intervallen solltest du schauen, was sich mittels Kompaktheit richten lässt.

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04.05.2010, 22:21

axiom_09

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Da es ja um ein Beweis geht, würde ich vielleicht ein allgemeines halboffenes Intervall auf M abbilden => $\begin{eqnarray*} f^{-1} : [a ; b[ \to M \end{eqnarray*}$ .

04.05.2010, 22:25

akechi90

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So viel kann ich dir verraten: Für halboffene und offene Intervalle kann man Gegenbeispiele angeben, für abgeschlossene Intervalle (damit meine ich vielmehr kompakte Intervalle) ist die Aussage dagegen wahr.
Für Gegenbeispiele - schau dir ein halboffenes Intervall und eine Kreislinie an. Dann überlege, wie du das Gegenbeispiel auf offene Intervalle überträgst.
Für den Beweis (im Falle kompakter Intervalle): Beweise, dass deine Abbildung nicht nur stetig, sondern auch abgeschlossen ist, d.h. abgeschlossene Teilmengen deines Intervalls gehen im Bild auch auf abgeschlossene Mengen.

04.05.2010, 22:35

axiom_09

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Könntest du dein Ansatz vielleicht einfach mal dokumentieren? Damit ich nachvollziehen kann, was du genau meinst.

04.05.2010, 22:42

akechi90

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Für die halboffenen Intervalle: Finde eine bijektive Abbildung von einem halboffenen Intervall auf eine Kreislinie, deren Umkehrabbildung nicht stetig ist. (man sieht eine solche Abbildung recht schnell)

04.05.2010, 22:50

axiom_09

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Könnte die Abbildung vielleicht so lauten: $\begin{eqnarray*} f : [0; 1[ \to M \end{eqnarray*}$ ??

04.05.2010, 23:20

axiom_09

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Könntest du denn mal deinen Ansatz nicht kurz dokumentieren?

04.05.2010, 23:33

akechi90

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Ich habe eigentlich schon alles ausgeführt, was gemacht werden sollte.

Also, sei $\begin{eqnarray*} K := \{x \in \mathbb R^2 : |x| = 1\} \end{eqnarray*}$ . Gib jetzt eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: [0,1) \to K \end{eqnarray*}$ an, die selbst bijektiv und stetig ist, aber ihre Umkehrung darf nicht stetig sein. Wie könnte denn diese Abbildung aussehen, jetzt überleg mal selbst!

05.05.2010, 00:07

axiom_09

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Heisst es, dass das ganze auf einem Widerspruch hinaus läuft und somit die Umkehrung nicht bijektiv und stetig ist?

05.05.2010, 01:01

akechi90

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Bijektiv ist die Umkehrung trivialerweise, nur eben nicht mehr stetig.
Du kannst jedenfalls Gegenbeispiele konstruieren, wenn dein Intervall halboffen oder offen ist.

Bei abgeschlossenen (d.h. kompakten) Intervallen dagegen kannst du tatsächlich zeigen, dass jede stetige Bijektion auch ein stetiges Inverses besitzt.

05.05.2010, 01:11

axiom_09

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Ich komme aber leider immer noch nicht auf eine Abbildung,die die Umkehrung zwar bijektiv macht aber nicht stetig.

05.05.2010, 01:27

akechi90

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Also wenn die Abbildung selbst bijektiv ist, dann ist auch ihre Umkehrabbildung stetig; das steht auch nicht zur Debatte. Du musst nur eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f: [0,1) \to K \end{eqnarray*}$ (K ist hierbei der Rand des Einheitskreises) finden, sodass die Umkehrung dieser Abbildung nicht stetig ist.
Also spätestens jetzt solltest du sehen, wie diese Abbildung auszusehen hat...

05.05.2010, 01:39

axiom_09

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RE: Stetigkeit einer Umkehrabbildung
Sorry, aber ich komme leider nicht auf diese besagte Abbildung.

05.05.2010, 01:46

akechi90

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Mach aus dem halboffenen Intervall einen Kreis - du könntest z.B. das offene Ende an das abgeschlossene Ende "ankleben" - du musst nur eben eine solche Abbildung konkret angeben.

05.05.2010, 03:17

axiom_09

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Sorry aber ich kriege das einfach nicht hin.

05.05.2010, 03:50

axiom_09

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Kannst du mir bitte sagen, wie das jetzt endgültig ausehen soll?

05.05.2010, 03:57

gonnabphd

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Zitat:

Ok, ich gebe ein wenig Hilfestellung. Aber zuerst: Welche Eigenschaften müssen eure Intervalle besitzen? Abgeschlossen, offen, halboffen? Überraschenderweise hängt nämlich die Antwort auf besagte Frage auf empfindliche Weise davon ab.

verwirrt

Könntest du mir evtl. erläutern was du mit "welche Eigenschaften..." meinst? Denn die Aussage, wie sie so dasteht, erscheint mir falsch.

@axiom_09: Er meint halt eine Bijektion $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \rightarrow K \end{eqnarray*}$ . Was kommen dir da für Ideen in den Sinn?

05.05.2010, 04:03

axiom_09

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Hallo erstmal, meinst du jetzt etwa, was mir allgemein als bijektive Abbildungen einfällt?

Ich hatte vorhin als halboffenes Intervall $\begin{eqnarray*} [0 ; 1[ \end{eqnarray*}$ vorgeschlagen gehabt bzgl. eines Kreises. Jetzt hast du hingeschrieben $\begin{eqnarray*} [0 ; 2 \pi [ \end{eqnarray*}$ . So und nun weiss ich gar nicht mehr wie ich das Ganze jetzt endgültig zusammenfügen soll, um auf das gegenbeispiel zu kommen.

05.05.2010, 04:15

gonnabphd

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Nein, sondern was dir im Zusammenhang mit "Kreis" und $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ einfällt.

Edit: Die ein wenig andere Wahl des Intervalles hab' ich nur genommen, um dir einen weiteren Hinweis für eine Bijektion zu geben.

05.05.2010, 04:18

axiom_09

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$\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ eine volle Umdrehung und periodisch $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ ist nicht enthalten im Intervall...aber worauf willst du eigentlich hinaus?
Oder meinst du jetzt eher die dazugehörige Winkelfunktionen (Sinus, Cosinus,...)

05.05.2010, 04:21

gonnabphd

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Weisst du wie man einen Kreis durch eine Parameterdarstellung beschreiben kann? Das genau sollst du nämlich tun. Das ist ja dann genau eine stetige Abbildung von dem Intervall auf den Kreis... Und bei geeigneter Wahl des Definitionsbereiches ist die sogar noch bijektiv.

Edit: Danach überprüfst du mal, ob die Umkehrabbildung auch wieder stetig ist.

05.05.2010, 04:26

axiom_09

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Ich verstehe leider nicht worauf du hinaus willst.
Wie kann ich jetzt aus dem Ganzen eine bijektiv-stetige Abbildung angeben, so das die Umkehrung zwar bijektiv aber nicht stetig ist?

05.05.2010, 04:27

axiom_09

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Parameterdarstellung wäre ja glaube ich:

$\begin{eqnarray*} x^2 +y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ ??

05.05.2010, 04:30

gonnabphd

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Das ist nicht die Parameterdarstellung...

Edit: Weiss du was:

$\begin{eqnarray*} t \mapsto \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wollte ich hören. Weshalb ist die Umkehrabbildung nicht stetig (bzw. die Abbildung nicht offen?).

05.05.2010, 04:39

axiom_09

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Weil Wertebereich von Sinus und Cosinus im geschlossenen Intervall $\begin{eqnarray*} W = [-1 ; 1] \end{eqnarray*}$ liegen. Und das Intervall $\begin{eqnarray*} [0 ; 2 \pi[ \end{eqnarray*}$ ist ausserhalb von W.

05.05.2010, 04:44

gonnabphd

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verwirrt

Ähm...

What?!

Nicht rumraten, bitte.

05.05.2010, 04:52

axiom_09

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Na die Umkehrung wäre doch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(t) \\ sin(t) \end{pmatrix} \to t \end{eqnarray*}$ und t = I [0 ; 2pi[ und das ist nicht in Wertebereich von Sinus und Cosinus enthalten.

05.05.2010, 05:10

gonnabphd

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unglücklich

Verstehe nicht, was du machst... Ich weiss jetzt auch gar nicht, wo ich da anfangen sollte, zu erklären.

http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion

Ein anderes (und vielleicht einfacheres) Beispiel für eine solche Funktion ist:

$\begin{eqnarray*} \Phi: (0,1) \cup \{2\} \rightarrow (0,1], \quad \Phi(x):= \begin{cases} x & x \in (0,1) \\1 & x=2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist stetig aber ihre Umkehrfunktion nicht. Ein noch einfacheres Beispiel fällt mir nicht ein.

05.05.2010, 10:27

axiom_09

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Ich verstehe was du meinst, aber ich kriege das trotzdem nicht hin das Gegenbeispiel in Parameterdarstellung eines Kreises darzustellen.
Kanst du mir einfach nicht zeigen wie das in Parameterdarstellung des Kreises gehen könnte?

Viele Grüße
axiom_09

05.05.2010, 18:38

axiom_09

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Ich habe es herausgefunden. Vielen Dank für die Beteiligung und aufschlussreiche Antworten.

Grüße
axiom_09

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