Gleichungssystem - Parameter für eine, keine und unendl. viel Lösungen?

05.05.2010, 01:17	bbutzemann	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem - Parameter für eine, keine und unendl. viel Lösungen? Hallo! Gegeben ist $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & a & -2 \\ 3 & 2 & a \\ 2 & a & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Frage lautet: Für welche Werte von a besitzt das Gleichungssystem eine, keine, und unendlich viele Werte? Meine erste Idee war, dass es irgendwie mit dem Rang von A bzw. (A,b) zusammenhängen muss, da ja soweit ich weiss gilt: keine Lösung, wenn Rang(A,b)>Rang(A) eine Lösung, wenn Rang(A,b)=Rang(A) Wie ich jetz aber verfahren muss... keine Ahnung Wäre echt dankbar für ein par Hinweise! Danke!
05.05.2010, 08:42	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem - Parameter für eine, keine und unendl. viel Lösungen? Wie würdest du denn vorgehen, wenn da kein Parameter a, sondern eine stinknormale Zahl stehen würde?
05.05.2010, 15:05	bbutzemann	Auf diesen Beitrag antworten »
Dan würde ich (A,b) mittels Gauss-Jordan Algorithmus auf Zeilennormalform bringen. Das hab ich jetzt ein par mal probiert, allerdings wird das mit der Zeit ziemlich unübersichtlich...oder ich mach irgendwo einen Rechenfehler... Mein TI gibt mir als ergebnis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{-4}{a+2}-1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2} {a+2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{-4} {a+2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da komm ich aber wenn ichs per Hand ausrechne nicht drauf...
05.05.2010, 20:31	bbutzemann	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich glaub ich habs jetzt..: Wenn det(A)=!0 ist, ist das System eindeutig lösbar. Für die Determinante bekomme ich $\begin{eqnarray} det(A)=a^{2} +3a+2 \end{eqnarray}$ raus, durch Nullsetzen ergiebt sich für a1=-2 und a2=-1 Somit ist das System eindeutig lösbar für $\begin{eqnarray} a\in \mathbb R \backslash \{-2 , -1 \} \end{eqnarray}$ Nun setz ich a1 bzw a2 für a ein für a = -1 komm ich nach elementaren Zeilenumformungen auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 1\\ 0 & 5 & 5 & -10 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und somit rang(A)=rang(A,b)=2 -> unendlich viele Lsg. für a=-2 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0,5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ rang(A)=!rang(A,b) -> keine Lsg. Ist das soweit richtig? Oder nur Wunschdenken meinerseits?
06.05.2010, 08:54	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du keinen Rechenfehler gemacht hast ( ich hab's jetzt nicht nachgerechnet), paßt das so.

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