Substitution einer Differenzialgleichung

05.05.2010, 13:17

DjMcCue

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Substitution einer Differenzialgleichung

Meine Frage:
Gegeben ist folgende Differenzialgleichung:
$\begin{eqnarray*} xy\frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{1+x^2} \end{eqnarray*}$
bzw.:
$\begin{eqnarray*} xyy'=\frac{1+y^2}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich gehe davon aus, das es auf eine Substitution in der Form:
$\begin{eqnarray*} y'=f\left(\frac{y}{x}\right) \end{eqnarray*}$

Sieht jemand eine Möglichkeit diese Gleichung in diese explizite Form zu überführen? Oder bin ich da auf dem Holzweg?
Dankeschön im vorraus!!!

05.05.2010, 13:48

wisili

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
Ich hätte (ohne besondere Idee) die Variablen getrennt und rechts eine Partialbruchzerlegung vorgenommen.

05.05.2010, 14:01

DjMcCue

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
ok, dann kommen ich auf:

$\begin{eqnarray*} \int y+y^3 dy=\int \frac{1}{x}+x dx \end{eqnarray*}$

aber wie soll ich da die linke Seite Integrieren?

05.05.2010, 14:02

wisili

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
Falsch umgeformt.

05.05.2010, 14:07

DjMcCue

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung

Zitat:

Original von wisili
Falsch umgeformt.

danke, hier mein nächster Versuch die Variablen zu trennen:

$\begin{eqnarray*} x+x^3=\frac{1+y^2}{yy'} \end{eqnarray*}$
bzw:
$\begin{eqnarray*} x+x^3=\frac{1+y^2}{y}\cdot\frac{dx}{dy} \end{eqnarray*}$

bringt mich das nun weiter?

05.05.2010, 14:08

wisili

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
Die sind aber hier gar nicht getrennt.
(Kennst du die Methode der Variablentrennung?)

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05.05.2010, 14:12

DjMcCue

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
ich dachte bisher schon, das ich die kenne, aber scheinbar nicht gut genug, kannst Du vieleicht etwas konkreter werden? Gott

Gott

05.05.2010, 14:15

wisili

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
Variablentrennung ist wörtlich zu nehmen: Alle «y», auch «dy» kommen nach (oder bleiben) links, alle «x», auch «dx» kommen nach (oder bleiben) rechts.

05.05.2010, 14:19

DjMcCue

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
ok, das sieht bei mir dann so aus:

$\begin{eqnarray*} (x+x^3)\frac{1}{dx}=\frac{1+y^2}{y}\cdot\frac{1}{dy} \end{eqnarray*}$

richtig? was nun?

05.05.2010, 14:20

wisili

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
links ist links, nicht rechts.

05.05.2010, 14:24

DjMcCue

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
ist das bei gleichheit nicht egal?

$\begin{eqnarray*} \frac{1+y^2}{y}\cdot\frac{1}{dy}=(x+x^3)\frac{1}{dx} \end{eqnarray*}$

besser? oder habe ich Dich falsch verstanden?

05.05.2010, 14:25

wisili

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
Nein: Man will ja beidseits ein Integral vorbereiten.
Du musst alles nochmal machen, von Anfang an. Die Gleichungsseiten vertauschen bringt natürlich nichts.

05.05.2010, 14:28

DjMcCue

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
sorry, aber ich blicke nicht so recht, wo der Fehler liegt, trotzdem danke für deine Hilfe!

hier mein zweiter neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{1+y^2}\cdot dy=\frac{1}{(1+x^2)x}\cdot dx \end{eqnarray*}$

ich hoffe ich habe hiermit mehr glück!?!

05.05.2010, 14:31

wisili

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
$\begin{eqnarray*} x y \frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{y}{1+y^2} dy =\int \frac{1}{x (1+x^2)} dx \end{eqnarray*}$ Partialbruchzerlegung

05.05.2010, 14:35

DjMcCue

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung

Zitat:

Original von wisili
$\begin{eqnarray*} x y \frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{1+y^2} dy = \frac{1}{x (1+x^2)} dx \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du beidseits integrieren.

Danke und die Y behandle ich wie normale Variablen bei der Integration?

05.05.2010, 14:38

wisili

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
Ja.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{y}{1+y^2} dy =\int \frac{a x + b}{1+x^2} + \frac{c}{x} dx \end{eqnarray*}$

Bestimme zuerst a, b und c.

05.05.2010, 14:45

DjMcCue

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
Wäre das der richtige Ansatz?

$\begin{eqnarray*} \int \frac{y}{1+y^2} dy =\int \frac{1}{x (1+x^2)} dx \end{eqnarray*}$

05.05.2010, 14:52

wisili

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
Ja.

06.05.2010, 17:33

DjMcCue

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RE: Substitution einer Differenzialgleichung
hat zwar noch etwas gedauert, aber dann geklappt.

hier der verspätete riesige Dank an wisili für seine Geduld mit mir.

/tim

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