Quadratwurzel aus Einheitsmatrix

05.05.2010, 13:23	9mb0	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratwurzel aus Einheitsmatrix Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Sei $\begin{eqnarray} A \in Gl_n (\mathbb C) \end{eqnarray}$ eine hermitesche Matrix mit paarweise verschiedenen Eigenwerten. Zeigen Sie, dass es genau $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Matrizen $\begin{eqnarray} B \in Gl_n(\mathbb C) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B^2=A \end{eqnarray}$ gibt. Wie viele verschiedene Matrizen $\begin{eqnarray} B \in Gl_2(\mathbb C) \end{eqnarray}$ mit a, $\begin{eqnarray} B^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b, $\begin{eqnarray} B^2=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gibt es? So der erste Teil ist mir klar, also zu zeigen, dass es $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Matrizen B gibt mit $\begin{eqnarray} B^2=A \end{eqnarray}$ . Ok zu a, Ich weiß, dass es unendliche viele matrizen B gibt für die die Bedingung aus a gilt. Jedoch fehlt mir die idee wie ich das zeigen soll, wäre für Anregungen dankbar. Für die b habe ich leider (auch) keinen Plan. Ich weiß, das ist etwas wenig an Ideen, aber ich hoffe mir hilft trotzdem jemand weiter. Ich würde mich jedenfalls freuen MfG 9mb
05.05.2010, 15:35	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratwurzel aus Einheitsmatrix Zu a): Und woher weißt Du, dass es unendlich viele gibt? Man kann doch einfach eine allgemeine Vorschrift dafür angeben und sieht dann, dass es unendlich viele gibt. Zu b): B hat vier Einträge und somit wird die Gleichung B²=A zu einem LGS mit vier Variablen. Das sollte sich problemlos lösen lassen. Gruß, Reksilat. EDIT: Natürlich kein LGS sondern ein Gleichungssystem.
05.05.2010, 15:51	9mb0	Auf diesen Beitrag antworten »
ja da hast du recht, bin mittlerweile auf deim richtigen Weg denke ich. kann es sein, dass es für b keine Matrix B gibt die das erfüllt?
05.05.2010, 15:53	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, es gibt welche. Aber nicht sehr viele.
05.05.2010, 15:59	9mb0	Auf diesen Beitrag antworten »
puh sorry, aber ich kapiers irgendwie nicht... meine 4 Gleichungen sind ja $\begin{eqnarray} a^2+bc=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ac+cd=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ab+bd=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} bc+d^2=1 \end{eqnarray}$ ich kann jetz schon irgendwie da einsetzen und rumrechnen, nur weiß ich ned was mir das bringt... könntest du mir bitte nochmal helfen
05.05.2010, 16:08	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann nimm Dir mehr Zeit! Tipp: Allein mit den Gleichungen II+III kannst Du b bestimmen.
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05.05.2010, 16:26	9mb0	Auf diesen Beitrag antworten »
ich sehe gerade, dass ich die ergebnisse der 2. und 3. Gleichung vertauscht habe. Ich sage es gibt 2 matrizen B die b erfüllen und zwar $\begin{eqnarray} C_1=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C_2=\begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
05.05.2010, 16:29	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
d'accord
05.05.2010, 16:33	9mb0	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen vielen Dank!

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