Aus Summe der Quadrate auf Summe der Wurzeln schliessen

05.05.2010, 17:11

Strider

Aus Summe der Quadrate auf Summe der Wurzeln schliessen

Hallo
ich möchte folgendes zeigen
Gegeben:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{i} = \sum\limits_{k=1}^n b_{i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{i}^2 > \sum\limits_{k=1}^n b_{i}^2 \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \sqrt{a_{i}} < \sum\limits_{k=1}^n \sqrt{b_{i}} \end{eqnarray*}$

Das das so ist schein mir recht offensichtlich nur wie ich es beweise da steh ich gerade total auf dem Schlauch.

05.05.2010, 18:15

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Bei einer derartigen Aufgabe im Schulforum stellt sich für mich zunächst mal folgende Frage:

Aus welchem Wettbewerb stammt die? Hoffentlich nicht aus einem aktuell noch laufenden, denn dann kannst du hier keine Hilfe erwarten.

05.05.2010, 18:32

Strider

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Keine Angst bin kein Schüler.
Hatte nur echt das Gefühl das sei sehr leicht und eher in die Schulmathe einzuordnen (und ich steh nur auf dem Schlauch). Wenn ihr der Meinung seid das gehört in die Unimathe bitte verschieben!

Ich kann mir nicht vorstellen, dass die Problemstellung in irgendeiner Form neu ist nur das hilft wie so oft nicht die lösung zu finden :-(

05.05.2010, 18:44

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Zitat:

Original von Strider
Hatte nur echt das Gefühl das sei sehr leicht

Ja wirklich? Ich würde meine Hand nicht ins Feuer legen, dass die Aussage überhaupt stimmt - momentan jedenfalls (noch?) nicht. Augenzwinkern

EDIT: Zu Recht, denn dann hätte ich mir meine Hand verbrannt - Gegenbeispiel für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_1 = 1, \; a_2 = 4, \; a_3 =13 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1 = 0, \; b_2 = 9, \; b_3 = 9 \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^3 a_k = \sum_{k=1}^3 b_k = 18 \end{eqnarray*}$ , außerdem $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^3 a_k^2 = 186 > 162 = \sum_{k=1}^3 b_k^2 \end{eqnarray*}$ , sowie dann $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^3 \sqrt{a_k} = 3+\sqrt{13} > 6 = \sum_{k=1}^3 \sqrt{b_k} \end{eqnarray*}$ .

05.05.2010, 20:01

Strider

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Ups.. na ja das erklärt wenigstens warum ich es nicht beweisen konnte. Danke dafür.
Bist du auf das Beispiel durch eine Systematik gekommen oder durch ausprobieren?
Vielleicht gilt das ganze mit zusätzlichen Annahmen:
Ich habe hier nur a und b Element [0...1]. Ob das einen Unterschied macht?

05.05.2010, 20:07

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Zitat:

Original von Strider
Ich habe hier nur a und b Element [0...1].

Ich deute das mal so, dass du den Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ meinst - da ist die Aussage richtig und auch relativ einfach nachweisbar.