Kontrolle Untervektorraum Ergebnisse

05.05.2010, 17:58	Lentio	Auf diesen Beitrag antworten »
Kontrolle Untervektorraum Ergebnisse Hallo, ich stelle mich bei meinen Hausaufgaben ein wenig dämlich an und hoffe auf eine helfende Hand. a) geg.: $\begin{eqnarray} T=\left\{\left[\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \right]\in \mathbb \mathbb R^{3} \| a+b+c= 0 \right\} \subseteq \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ Anhand der Definition eines Teilraumes soll gezeigt werden, dass T ein Teilraum des R³ ist, ohne die Teilraumeigenschaft a + b + c = 0 in den Vektor zu integrieren a2) Dass $\begin{eqnarray} B=\left\{ \left[\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},[\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \right\} \end{eqnarray}$ eine Basis von T ist b)Zeigen, dass $\begin{eqnarray} T=\left\{\left[\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \right]\in \mathbb \mathbb R^{3} \| a\cdot b\cdot c= 0 \right\} \subseteq \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ kein Teilraum von $\begin{eqnarray} R^{3} \end{eqnarray}$ ist. Meine Überlegungen: zu a) 1. Zeigen, dass T keine leere Menge ist. Test ob Nullvektor Element von T ist 0+0+0=0 wahr 2. Prüfen ob abgeschlossen ist bezgl. Addition Seien $\begin{eqnarray} \vec{v_{1}} , \vec{v_{2} } \end{eqnarray}$ in T wobei $\begin{eqnarray} \vec{v_{1}}=(a_{1}, b_{1}, c_{1})<br /> \vec{v_{2}}=(a_{2}, b_{2}, c_{2})<br /> \vec{v_{1}}+ \vec{v_{2}}=((a_{1}+a_{2}), (b_{1}+b_{2}),( c_{1}+ c_{2}))= \vec{v_{3}} \end{eqnarray}$ Einsetzen in die Bedingung: $\begin{eqnarray} a_{3}+ b_{3}+ c_{3}=0 \end{eqnarray}$ , da bekannt ist, dass jeder Klammerausdruck gleich 0 ist, ist die Summe beider KLammern ebenfalls 0. Die Summe beider Vektoren ist Element von T. 3. $\begin{eqnarray} <br /> r\in \mathbb R <br /> <br /> r\cdot \vec{v_{1} }= \vec{v_{4} } = (r\cdot a_{1},r\cdot b_{1} ,r\cdot c_{1}) \end{eqnarray}$ Einsetzen in die Bedingung: $\begin{eqnarray} r\cdot a_{1}+r\cdot b_{1} +r\cdot c_{1}=0<br /> r( a_{1}+ b_{1}+ c_{1})=0<br /> a_{1}+ b_{1}+ c_{1}=0 \end{eqnarray}$ Abgeschlossene Skalarmultiplikation T ist Untervektorraum von $\begin{eqnarray} R^{3} \end{eqnarray}$ zu a2) Habe einfach geschaut ob die Vektoren linear unabhängig sind. Da die Skalare s=t=0, B Basis von T. Müsste ich eigentlich mit drei Vektoren rechnen, da Dimension des Vektorraums gleich drei ist? zu c) bin analog zu a) vorgegangen. dabei kommt raus, dass U UVR von $\begin{eqnarray} R^{3} \end{eqnarray}$ ist. Was mach ich falsch? Für eine Kontrolle, Tipps für eine kürzere Schreibweise (aber nicht einfach Vektoren einsetzen ) und Hinweise wäre ich dankbar
05.05.2010, 19:37	Lentio	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir niemand helfen!
05.05.2010, 19:50	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung eines Teilraumes des R³

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