Hypothesentest Grundverständnis

05.05.2010, 18:12	BHörnchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hypothesentest Grundverständnis Folgenden Gedankengang kann ich einfach überhaupt nicht nachvollziehen: Bei einem Test der Nullhypothese wird zunächst ein Risiko von 5 % zugestanden, die Hyp. zu verwerfen, obwohl sie wahr ist (= alpha-Fehler). Dann wird ein empirischer Test mit Daten durchgeführt. Es ergibt sich ein p-Wert von meinetwegen ,025. Das sieht doch so aus, als wäre der Fehler hier in der empir. Wirklichkeit sogar niedriger ausgefallen als ursprünglich veranschlagt. Dennoch wird die Nullhypothese wegen Unterschreiten des Signifikanzniveaus von 5 % verworfen (und nicht etwa - was mir logischer vorkäme - bestätigt). Der Dozent hat für den alpha-Fehler das Beispiel eines medizinischen Tests angeführt. Nullhypothese: kein Blut = gesund. Der Alpha-Fehler wurde hierbei mit der Falsch-Positiven-Rate identifiziert. Signifikanzniveau = 5 %. Heißt - meinem Verständnis zufolge - ich kann das diagnostische Verfahren zum Patent anmelden, wenn der Fehlerwert von 5 % Falsch-Positiven ("Fehlalarm") nicht überschritten wird. Warum habe ich Anlass, die Nullhyp. zu verwerfen, wenn es in der empir. Wirklichkeit sogar in nur 2,5 von 100 Fällen zu einer falsch-positiven Diagnose kommt? Dann ist mein angewendetes diagnostisches Verfahren doch sogar besser als erhofft und die Hypothese "kein Blut = gesund" erst recht untermauert?! Kurz gefasst: warum die Nullhypothese verwerfen bei Unter- und nicht bei Überschreitung des festgelegten Signifikanzniveaus? Die gleiche Frage habe ich dem Dozenten auch schon gestellt, seine Antwort: "bei einem p von ,025 ist davon auszugehen, dass eine festgestellte Abweichung nicht mehr zufällig ist" hat mir jedoch nur sehr bedingt weitergeholfen. Vermutlich geht es da um die Normalverteilung. Wenn ich das Signifikanzniveau auf 5 % festsetze, meine ich dann damit, dass eine abgeschnittene Fläche von nicht unter 5 % im Sinne der Definition noch als "zufällig" zu betrachten ist? Ich nehme an, ich habe irgendwo ein grundlegendes Verständnisproblem, wäre dankbar dafür, wenn mich jemand auf die richtige Spur bringen könnte! Meine letzte Mathestunde ist leider viele Jahre her. schon mal danke, euer BHörnchen
05.05.2010, 21:25	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hypothesentest Grundverständnis Hypothesentests sind ein ganz übles Thema und die reinen Mathematiker beschäftigen sich nicht gern damit. Das ist zumindest mein Eindruck. Ein Übel ist die unglückliche Wahl des Wortes Signifikanzniveau. Da schließen viele, je höher das Signifikanzniveau, desto sgnifikanter ist die Aussage des Tests. Dabei treten gleich zwei Irrtümer auf: (1) Je höher das Signifikanzniveau, desto höher ist bei Bestätigung der Null-Hypothese die Signifikanz der Bestätigung. (2) Je höher das Signifikanzniveau, desto höher ist bei Ablehnung der Null-Hypothese die Signifikanz der Ablehnung. Beides ist falsch. (1) ist ganz und gar falsch, weil ein Hypothesentest die Null-Hypothese nie bestätigt, obwohl das sogar manche Bücher so schreiben. Der Hypothesentest lehnt die Hypothese ab oder er lehnt sie nicht ab. Wenn er sie nicht ablehnt, kann man sie beibehalten, falls man vorab Gründe hatte, sie für richtig zu halten. Wenn man diese Gründe nicht hatte, ist man so schlau wie vorher. (2) Hier muss man einfach die Definition des Signifikanzniveaus hernehmen. Das Signifikanzniveau gibt die Wahrscheinlichkeit an, die Null-Hypothese abzulehnen, obwohl sie richtig ist. Wenn man vorab die Null-Hypothese für plausibel hält, wird man sie nur ablehnen, wenn das Ergebnis der Stichprobe stark von der Hypothese abweicht. Die Wahrscheinlichkeit für eine so starke oder noch stärkere Abweichung solte also klein sein. Deshalb ist das Signifikanzniveau eine kleine Zahl. 5 % oder weniger sind übliche Werte. Je überzeugter man von der Null-Hypothese ist, desto kleiner wird man das Siginifikanzniveau wählen. Oder umekehrt, je kleiner die aus der Stichprobe berechnete Signifikanzzahl, desto signifikanter ist die Ablehnung. Denn da dann ist es ja noch weniger wahrscheinlich (noch unwahrscheinlicher), in einer Stichprobe eine so starke Abweichung von der Null-Hypothese zu finden.
07.05.2010, 15:37	rad238	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das verstehe ich nicht. Was ist denn der p-Wert? Mit der Beobachtung $\begin{eqnarray} x \in \chi \end{eqnarray}$ und den disjunkten Entscheidungsmengen $\begin{eqnarray} \Theta_0, \Theta_1 \in \chi \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \Theta_0 \cap \Theta_1 = \varnothing \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Theta_0 \cup \Theta_1 = \chi \end{eqnarray}$ , entscheidet man sich z.B. für die Hypothese $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} x \in \Theta_0 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} H_1 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} x \in \Theta_1 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \alpha = Pr(x \in \Theta_0 \mid H_1) \end{eqnarray}$ . Ist das so gemeint? Wenn ja, was ist dann der p-Wert, wie kommt der zustande, in welchem Zusammenhang steht der mit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , und wie trägt der p-Wert zur Entscheidung bei? Besten Dank im Voraus, Andreas PS Gibt es bei latex ein großes \Chi?
07.05.2010, 17:06	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beispiel: Man hat eine Grundgesamtheit mit Mittelwert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und eine Stichprobe mit Mittelwert $\begin{eqnarray} \hat \mu \end{eqnarray}$ . Man geht davon aus (Null-Hypothese), dass die Stichprobe aus dieser Grundgesamtheit stammt. Es sei z. B. $\begin{eqnarray} \hat \mu < \mu \end{eqnarray}$ . Um die Hypothese zu überprüfen, wird ein einseitiger Hypthesentest auf dem Signifikanzniveau $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ gemacht. Aus $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ möge sich ein kritischer Wert $\begin{eqnarray} c_{\alpha} \end{eqnarray}$ für den Stichprobenmittelwert $\begin{eqnarray} \hat \mu \end{eqnarray}$ ergeben. Das heißt, bei $\begin{eqnarray} \hat \mu < c_{\alpha} \end{eqnarray}$ wird die Hypothese abgelehnt und bei $\begin{eqnarray} \hat \mu \geq c_{\alpha} \end{eqnarray}$ wird sie nicht abgelehnt. Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die Zufallsvariable für den Stichprobenmittelwert. Mit dem p-Wert ist dann gemeint: $\begin{eqnarray} p=P(X \leq \hat \mu) \end{eqnarray}$ Der p-Wert ist also die Wahrscheimlichkeit, bei wiederholter Stichprobennahme einen Stichprobenmittelwert zu finden, der kleiner als oder gleich dem Mittelwert der aktuellen Stichprobe ist. Damit kann das Entscheidungskriterium auch so formuliert werden: $\begin{eqnarray} p < \alpha \end{eqnarray}$ Ablehnung $\begin{eqnarray} p \geq \alpha \end{eqnarray}$ keine Ablehnung
11.05.2010, 18:24	rad238	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, ich denke, jetzt habe ich das verstanden. Und ich nehme an, der p-Wert muss eigentlich $\begin{eqnarray} p = P(X \leq \hat \mu \| H_1 ) \end{eqnarray}$ sein, also z.B. $\begin{eqnarray} p = \int_{-\infty}^{\hat \mu} p(X \| H_1 ) dX \end{eqnarray}$ In dem Fall könnte z.b. Alpha $\begin{eqnarray} \alpha = \int_{-\infty}^{c_{\alpha}} p(X \| H_1 ) dX \end{eqnarray}$ sein. Das wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese verworfen wird, obwohl sie stimmt.
11.05.2010, 19:01	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du als Bedingung $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} H_1 \end{eqnarray}$ in die Gleichungen schreibst, stimmt das. Das hätte dir auch dein letzter Satz sagen müssen. Aus der Alternativhypothese $\begin{eqnarray} H_1 \end{eqnarray}$ lassen sich bei meinem Beispiel überhaupt keine quantitativen Folgerungen ziehen.
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11.05.2010, 19:14	rad238	Auf diesen Beitrag antworten »
ja sorry, ich meinte die Hypothese, die bestätigt werden soll, ... ... also die Nullhypothese, das ist dann wohl $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$
11.05.2010, 19:48	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es.

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