Trigonometrische Gleichungsaufgabe

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05.05.2010, 19:10	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Gleichungsaufgabe Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe und würde gerne wissen, wie diese zu Ende zu lösen ist: $\begin{eqnarray} \sin^2(x)-\cos^2(x)-sin(x)=0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein bisheriger Rechenweg: $\begin{eqnarray} - \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin(x)}{cos^2(x)}= 0 \end{eqnarray}$ (Ich habe also durch $\begin{eqnarray} \cos^2 \end{eqnarray}$ geteilt.) Weiter geht's, mit dem Wissen, dass" $\begin{eqnarray} \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}= 1 \end{eqnarray}$ " gilt. $\begin{eqnarray} \frac{-sin^2}{cos^2}+\frac{sin(x)}{cos^2(x)}=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}-\frac{\sin(x)}{cos^2(x)=1} \end{eqnarray}$ Ja, und jetzt bitte ich um euren Ratschlag ... Danke im Voraus. Hektrio
05.05.2010, 19:20	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Ein Vorschlag: Trigonometrischen Pythagoras verwenden, um den Kosinus rauszuschmeißen. Dann sin(x)=u substituieren und die quadratische Gleichung in u lösen.
05.05.2010, 19:31	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Erstmal danke für die schnelle Antwort. Gut, ich nehme $\begin{eqnarray} \sin^2(x)+cos^2(x)=1 \end{eqnarray}$ . Und jetzt soll das für die Eins eingesetzt werden, oder wie? Rechnung: $\begin{eqnarray} \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}-\frac{sin(x)}{cos^2(x)}=1 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}-\frac{sin(x)}{cos^2(x)}=\sin^2(x)+cos^2(x) \end{eqnarray}$ Wie geht es jetzt weiter? Irgendwie wird mir nicht klar, wie ich nun den störenden Kosinus (von x) wegschmeißen kann.
05.05.2010, 19:36	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Öh... nein, gleich zu Beginn einsetzen. $\begin{eqnarray} \sin^2(x)-\cos^2(x)-\sin(x)=0 \end{eqnarray}$ Da sollst du das einsetzen. Löse den trigonometrischen Pythagoras einfach nach cos²(x) auf.
05.05.2010, 19:46	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Ah, selbstverständlich. $\begin{eqnarray} \cos^2(x) = 1-sin^2(x) \end{eqnarray}$ Einsetzung: $\begin{eqnarray} \sin^2(x)-1-\sin^2(x)-\sin(x) = 0 \end{eqnarray}$ Vereinfachen: $\begin{eqnarray} -\sin(x)-1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(x)=-1 \end{eqnarray}$ Ist es so korrekt??? Das Ergebnis hört sich ja angenehm an.
05.05.2010, 19:49	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Nein, da warst du schlampig mit den Vorzeichen! Minus mal minus gibt wieder Plus! $\begin{eqnarray} \sin^2(x)-\cos^2(x)-\sin(x)=0 \end{eqnarray}$ Jetzt einsetzen liefert: $\begin{eqnarray} \sin^2(x)-(1- \sin^2(x)) -\sin(x)=0 \end{eqnarray}$
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05.05.2010, 19:51	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Oh, ok, dann versuch ich es noch einmal.
05.05.2010, 20:03	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Gut, großes Dankeschön an dich, ich hab es verstanden und rauskommen tut dann durch die pq-Formel: $\begin{eqnarray} v_{1/2}=0,25\pm 2,25 \end{eqnarray}$ Jetzt nur noch Resubstitution und fertig.
05.05.2010, 20:07	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Ich komme auf $\begin{eqnarray} x_{1,2} = \frac 14 \pm \frac 34 \end{eqnarray}$ Und der Sinus nimmt doch auch nur Werte zwischen -1 und 1 an (im Bogenmaß).
05.05.2010, 20:15	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Ja, das stimmt, da ist mir wohl irgendwo ein Fehler unterlaufen. Ich such mal.
05.05.2010, 20:20	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Dann muss q aber Null sein, damit 3/4 rauskommt? Edit : Achso nein. Ist alles ok. Vielen Dank dir.
05.05.2010, 20:24	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Schreib deine Rechnungen auf, ich kann nicht hellsehen. Nach dem Einsetzen bekommt man $\begin{eqnarray} 2\sin^2(x)-\sin(x)-1=0 \end{eqnarray}$ Jetzt auf beiden Seiten durch 2 teilen, substituieren und pq-Formel anwenden. Ich komme da auf das von mir Genannte.
05.05.2010, 20:26	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Ja du hast Recht. Ich hab es nur falsch in den Taschenrechner eingegeben. Da kommt wirklich 0,25 pm 0,75 raus. Sorry für die Verwirrung. Die Nacht mal wieder.
05.05.2010, 20:30	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Gleichungsaufgabe Nacht um halb neun abends? Das kenne ich aber ganz anders mit meinen Übungszetteln. Übrigens: Sollst du eine oder alle Lösungen nennen? Denn wegen der Periodizität von sin und cos gibt es ja logischerweise unendlich viele Lösungen.
05.05.2010, 20:45	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, ich mein, dass draußen kaum Sonnenlicht ankommt. Nein, gute Nachfrage. Denn die Aufgabe war eine "Gib eine Lösung an"-Aufgabe. Aber es wäre interessant: Wie könnte man hier nun alle Lösungen angeben?
05.05.2010, 20:51	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste man separat betrachten. Der einfachere Fall wäre die Erfassung aller Lösungen für sin(x)=1 Eine Lösung dafür ist ja zum Beispiel pi/2. Nun weiß man, dass der sin zweipi-periodisch ist. Die nächste Lösung wäre also "zwei pi weiter". Also 5pi/2. Erfassen könnte man das dann zum Beispiel so. $\begin{eqnarray} x = \frac{(4n-3)\pi}{2} \, \, , \quad n \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Analog geht das dann auch mit einigen Überlegungen für die Lösungen mit -1/2. Aber dort ist es nicht einfach nur zweipi-periodisch, da sieht's noch etwas anders aus (wenn man sich den Graph mal anguckt).
05.05.2010, 21:24	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Jep, wunderbaaar. Diese Berechnung der Nullstelle ist super. Auch dafür ein "Spacibo".

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