Integral berechnen

06.05.2010, 10:47

gupsi0

Integral berechnen

Hallo,

ich muss hier im Rahmen einer Aufgabe zwei Integrale bestimmen, bei denen ich nicht weiter komme. Hat da jemand eine Idee??

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! t\sqrt{8t^2+1} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! t^2\sqrt{8t^2+1} \, dt \end{eqnarray*}$

Danke im Voraus!

06.05.2010, 10:52

kruemel71

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nimm mal für die erste gleichung die substitution

$\begin{eqnarray*} u=8t²+1 \end{eqnarray*}$

dann kann man es relativ einfach bestimmen

06.05.2010, 10:52

tmo

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Das erste Integral kann man mit einer recht offensichtlichen Substitution lösen.

Das zweite Integral kann man mit partieller Integration auf das erste zurückführen.

06.05.2010, 11:25

gupsi0

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ok, das erste Integral habe ich hinbekommen.
Wenn ich jetzt das zweite mit partieller Integration ausrechnen will, komme ich auch irgendwann nicht mehr weiter. Es scheint recht kompliziert zu werden:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! t * t \sqrt{8t^2+1} \, dt = [t*\frac{(8t^2+1)^{3/2}}{24}] -\int_0^1 \! \frac{(8t^2+1)^{3/2}}{24} \, dt = ? \end{eqnarray*}$

Gibt es hier eine geschickte Möglichkeit weiterzukommen?

06.05.2010, 11:34

klarsoweit

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Hab's jetzt nicht ausprobiert. Mit $\begin{eqnarray*} t = \frac{1}{4 \sqrt 2} \cdot (u - \frac 1 u) \end{eqnarray*}$ wäre es einen Versuch wert.

06.05.2010, 13:00

gupsi0

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Wenn man es sich ausrechnen lässt, kommt irgendetwas mit asinh() raus.

Kann man damit etwas machen????

06.05.2010, 13:22

klarsoweit

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Ist auch möglich. Hierzu ist $\begin{eqnarray*} t = \frac{1}{2 \sqrt 2} sinh(u) \end{eqnarray*}$ zu nehmen.

08.05.2010, 12:01

funnygirl

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Aufleitung
Hmm ich habe die gleiche Aufgabe bei der ich nicht weiter komme. Denn wenn ich für $\begin{eqnarray*} t= \frac{1}{2*\sqrt{2} }sinh(u) \end{eqnarray*}$ einsetze, dann komm ich irgendwann auf $\begin{eqnarray*} \frac{1cosh(u)^3}{24} \end{eqnarray*}$ und müsste das dann noch aufleiten, aber Exponent größer 2 bei cosh da bin ich echt überfordert, bzw seh ichs nicht, wie ich da weiter ran gehen kann.
Mit freundlichen Grüßen
Jessica
ps: irgendwie krieg ich das mit dem Formeleditor nicht richtig hin, sorry

EDIT von Calvin
abschließende LaTeX-Tags lauten [/latex]. Dann klappt es auch mit dem Formeleditor

08.05.2010, 12:45

Mulder

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RE: Aufleitung
Falls dein Zwischenergebnis stimmt (habe ich jetzt nicht nachgerechnet), kannst du so weiter machen: Mit der Identität

$\begin{eqnarray*} \cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = 1 \end{eqnarray*}$

(sollte bekannt sein, hilft sehr oft) kann man das Ganze umformen zu

$\begin{eqnarray*} \cosh^3(x) = \cosh(x)(1+\sinh^2(x)) = \cosh(x)+\cosh(x)\cdot \sinh^2(x) \end{eqnarray*}$

Beides ist sehr einfach zu integrieren. Das erste ist ein Grundintegral und für das zweite hat man eine sehr naheliegende Möglichkeit, zu substituieren. Den konstanten Vorfaktor (das 1/24) kann man ja sowieso vor das Integral ziehen.

08.05.2010, 16:09

funnygirl

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RE: Aufleitung
Hmm mit dem Substituieren hab ichs nicht so.
Ja cosh(x) is ja einfach ok^^
aber cosh(x)*sinh²(x)
wenn man substituieren würde, wäre cosh(x)=sinh(x) ja i-wie ungeschickt, weil so ja wieder eine Potenz dritten Grades, und das war ja schon zu Beginn mein problem. Also müsste ich dann wohl irgendwie sinh²(x) substituieren, aber ich weiß nicht genau wie...

08.05.2010, 17:03

Mulder

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RE: Aufleitung

Zitat:

Original von funnygirl
Hmm mit dem Substituieren hab ichs nicht so.

Tja nun, dann solltest du es üben. Wenn man das nicht beherrscht, fliegt man beim Integrieren immer wieder auf die Schnauze. Das ist hier auch eigentlich wirklich ein sehr einfacher Fall.

$\begin{eqnarray*} \int \cosh(x)\cdot (\sinh(x))^2 \, \dx \end{eqnarray*}$

Und dann substiuiert man eben

$\begin{eqnarray*} \sinh(x)=u \end{eqnarray*}$

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