Funktionsgleichung

06.05.2010, 12:01

Babyborn

Funktionsgleichung

Meine Frage:
Könnte mir mal bitte jemand helfen...

ich habe die Nullstellen
x1=-4
x2=5
und den kleinsten Funktionswert -10

Meine Ideen:
Nullstellen N1(-4/0)
N2(5/0)
doch mit dem kleinsten Funktionswert kann ich nichts anfangen...
Dies soll ich nun in die Parabelgleichung bringen.

06.05.2010, 12:08

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
wenn es einen kleinsten funktionswert gibt, ist die parabel dann nach oben oder nach unten geöffnet?
was für ein punkt liegt bei diesem "kleinsten Funktionswert"?

06.05.2010, 16:27

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
ich hätte jetzt auf anhieb gesagt das sie nach oben geöffnet ist...hab aber keine Ahnung... Augenzwinkern

und welcher Punkt das ist weiß ich nicht...wie kriegt man das denn raus??

Kannst du mir bitte helfen?!

06.05.2010, 16:31

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
also zuerst einmal ist richtig, wenn eine parabel einen kleinsten funktionswert hat, dann ist sie nach oben geöffnet.
dazu schau dir mal zwei parabeln an:

hat die grüne einen kleinsten funktionswert?
bei der roten parabel ist der kleinste funktionswert welcher?
was für ein Punkt liegt hier vor?

Zitat:

Original von Babyborn

Kannst du mir bitte helfen?!

mach ich doch gerne Augenzwinkern

06.05.2010, 16:34

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
ich hätte gesagt, dass die grüne keinen kleinsten, sondern einen größten Funktionswert hat...gibt es sowas?
Der Punkt wäre dann (0/4)
Und bei der Roten ist der kleinste Funktionswert doch der Punkt (0/0)

oder lieg ich ganz falsch?

06.05.2010, 16:36

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
nein, du liegst vollkommen richtig, die grüne parabel hat tatsächlich einen größten Funktionswert.
der kleinste der roten ist auch richtig.

aber nun noch die frage, was für ein punkt da vorliegt...

sagt dir der begriff scheitelpunkt etwas?

06.05.2010, 16:38

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
ja...ist der nicht bei (0/0)??

06.05.2010, 16:41

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
ist richtig, ist bei der parabel, die ich geplottet habe bei (0,0).

jetzt übertragen wir das auf dein beispiel:

wir haben zwei nullstellen und den funktionswert des scheitelpunktes gegeben.

wie sieht die allgemeine form einer parabel aus?

06.05.2010, 16:44

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
die allgemeine Formel lautet doch f(x)=x²+bx+c
aber wie muss ich das jetzt umsetzen??

06.05.2010, 16:46

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
das ist falsch, die allgemeine formel lautet
$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ .
du hast den koeffizienten von x^2 vergessen.

zu der frage, wie du das umsetzten musst erst mal die frage, ob du ableitungen schon kennst?

06.05.2010, 16:48

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
nee...was ist das denn...??
verwirrt

06.05.2010, 16:49

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
ist egal.....

aber die scheitelpunktform einer parabel kennst du, oder?

06.05.2010, 16:51

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
ja...ist das nicht
f(x)=ax²+bx+c??

06.05.2010, 16:52

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
wo wir schon grad bei scheitelpunkten sind...könntest du dann dass grad noch nachgucken...dann weiß ich, ob ich es verstanden habe....

f(x)=x²+3x+1,25
f(x)=x²+3x+1,5²-1,5²+1,25
f(x)=(x+1,5)²-1,5²+1,25
f(x)=(x+1,75)²-1

S(-1,75/-1)

f(x)=2x²-20x+52 /2
f(x)=x²-10x+26
f(x)=x²-10x+5²-5²+26
f(x)=(x-5)²+5²+26
f(x)=(x-5)²+51

S(5/51)

f(x)=-x²+6x-4 /-1
f(x)=x²-6x+4
f(x)=x²-6x+3²-3²+4
f(x)=(x-3)²+3²+4
f(x)=(x-3)²+13

S(3/13)

DANKE!!!

06.05.2010, 16:53

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
nein, das ist die allgemeine funktionsgleichung.

kennst du die form einer parabelgleichung f(x)=a(x+b)^2+c wobei -b der x-wert des Scheitelpunktes ist und c der y-wert?

edit: kennst du ja doch.......

06.05.2010, 16:56

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
ähm....nee nicht wirklich...also ich weiß nicht kann schon sein...
verwirrt

06.05.2010, 16:57

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
sind denn meine berechneten Scheitelpunkte richtig??

06.05.2010, 16:59

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
ähm...nicht wirklich...
soll das heißen meine Scheitelpunktberechnungen sind richtig?!

06.05.2010, 17:00

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung

Zitat:

Original von Babyborn
wo wir schon grad bei scheitelpunkten sind...könntest du dann dass grad noch nachgucken...dann weiß ich, ob ich es verstanden habe....

f(x)=x²+3x+1,25
f(x)=x²+3x+1,5²-1,5²+1,25
f(x)=(x+1,5)²-1,5²+1,25
f(x)=(x+1,75)²-1

S(-1,75/-1)

wie kommst du in der klammer von 1,5 auf 1,75?
das hier ist schon richtig:
f(x)=(x+1,5)²-1,5²+1,25=(x+1,5)²-1

Zitat:

f(x)=2x²-20x+52 /2
f(x)=x²-10x+26
f(x)=x²-10x+5²-5²+26
f(x)=(x-5)²+5²+26
f(x)=(x-5)²+51

S(5/51)

hier hast du einen vorzeichenfehler:
f(x)=x²-10x+5²-5²+26=(x-5)²-5²+26

Zitat:

f(x)=-x²+6x-4 /-1
f(x)=x²-6x+4
f(x)=x²-6x+3²-3²+4
f(x)=(x-3)²+3²+4
f(x)=(x-3)²+13

S(3/13)

DANKE!!!

auch hier, gleicher fehler wie oben:f(x)=x²-6x+3²-3²+4=(x-3)²-3²+4

06.05.2010, 17:03

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
so, nun zurück zur aufgabe:

wir haben die form für eine parabel:

$\begin{eqnarray*} a(x+b)^2+c \end{eqnarray*}$ .

nun setzten wir die beiden nullstellen ein.

danach den scheitelpunkt und wir erhalten drei gleichungen mit drei variablen, was zu lösen ist.

06.05.2010, 17:03

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
okay...das mit den vorzeichen ist klar und bei der ersten da hab ich mich nur vertippt...

Danke für das korrigiern...aber jetzt weiter im eig Thema... Augenzwinkern

06.05.2010, 17:13

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
soll das heißen
f(x)=a(x-4)(x-5)
????

06.05.2010, 17:19

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
ist das richtig:
f(x)=-0,5(x-4)(x-5)
??

ich hab das jetzt so wie bei uns im buch gemacht...ist das richtig??

06.05.2010, 17:19

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
edit: bring das mal in die scheitelpunktform, ist der scheitelpunkt dann bei y=-10?

06.05.2010, 17:23

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
wie??
ich hab das jetzt noch mal mit den richtigen zahlen wie bei uns im buch gemacht...
f(x)=0,5(x+4)(x-5)

jetzt richtig??

06.05.2010, 17:28

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
überprüf doch mal, liegt der scheitelpunkt bei y=-10?

06.05.2010, 17:31

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
ähm...keine ahnung...wie würdest du das denn ausrechnen?
die gesamte aufgabe...

06.05.2010, 17:41

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
ich würde als erstes die scheitelpunktsform betrachten:

f(x)=a(x+b)^2+c.
nun ist c der y-wert des scheitelpunktes, also -10.

damit ist die scheitelpunktsform f(x)=a(x+b)^2-10.
nun werden die beiden nullstellen eingesetzt:

f(-4)=a(-4+b)^2-10=0
f(5) =a(5+b)^2-10=0

zwei gleichungen, zwei variablen.

06.05.2010, 17:53

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
eine andere möglichkeit ist, die linearfaktorzerlegung zu benutzen:

f(x)=a(x-b)(x-c), wobei b und c die nullstellen sind und a ein faktor.

bringt man dies in die scheitelpunktsform nach einsetzen der nullstellen, so erhält man

$\begin{eqnarray*} a(x+4)(x-5)=a(x^2+4x-5x-20)=a(x^2-x-20)=a(x^2-x+0,5^2-0,5^2-20)<br /> =a((x-0,5)^2-20-0,25)=a(x-0,5)^2-a \cdot 20,25 \end{eqnarray*}$
nun weiß man, dass a*20,25=10 sein sollen....

06.05.2010, 17:56

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
muss ich die beiden gleichungen jetzt erst addieren??
oder wie muss ich weiter vorgehen?

06.05.2010, 18:04

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
wenn du nicht weißt, wie man LGS löst, nimm meinen zweiten vorschlag:

Zitat:

Original von lgrizu
eine andere möglichkeit ist, die linearfaktorzerlegung zu benutzen:

f(x)=a(x-b)(x-c), wobei b und c die nullstellen sind und a ein faktor.

bringt man dies in die scheitelpunktsform nach einsetzen der nullstellen, so erhält man

$\begin{eqnarray*} a(x+4)(x-5)=a(x^2+4x-5x-20)=a(x^2-x-20)=a(x^2-x+0,5^2-0,5^2-20)<br /> =a((x-0,5)^2-20-0,25)=a(x-0,5)^2-a \cdot 20,25 \end{eqnarray*}$
nun weiß man, dass a*20,25=10 sein sollen....

ansonsten:

klammer auflösen, eine gleichung nach einer variablen umstellen und in die zweite gleichung einsetzen.

06.05.2010, 18:13

Babyborn

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RE: Funktionsgleichung
hab ich die erste gleichung richtig gelöst?
f(-4)=a(-4+b)²-10=0
f(-4)=-16a+a*2b-10=0
f(-4)=-15a+2b-10=0
f(-4)=-15a+2b=10
f(-4)=2b=10+15a
f(-4)=b=5+7,5a

ist das richtig? kann ich die so in die zweite einsetzten??

06.05.2010, 20:46

lgrizu

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RE: Funktionsgleichung
nee, das ist falsch...

$\begin{eqnarray*} a(-4+b)^2-10=0 | +10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(-4+b^2)=10 | /a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-4+b)^2=\frac{10}{a} | Kehrwert \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(-4+b)^2}=\frac{a}{10} | *10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{10}{(-a+b)^2}=a \end{eqnarray*}$

nun in die zweite gleichung einsetzten...

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