Oberfläche von Rotationskörpern

06.05.2010, 13:01

Nik88

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Oberfläche von Rotationskörpern

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche des Körpers, der entsteht, wenn der Funktionsgraph $\begin{eqnarray*} f(x) = cosh(x) = \frac{1}{2}(e^{x} + e^{-x}) \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,1] um die x-Achse rotiert.

Also ich habe für das Volumen des Rotationskörpers 1,406 pi raus bzw. 4,419.

Jetzt muss ich noch die Oberfläche ausrechnen, allerdings habe ich da einen Wert von 627,7 raus. Ich denke ja mal das der nicht stimmt. Könnt ihr mir das weiterhelfen?

mfg Nik

06.05.2010, 16:03

gonnabphd

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Zitat:

Ich denke ja mal das der nicht stimmt. Könnt ihr mir das weiterhelfen?

Ja, du hast in der fünften Zeile einen Flüchtigkeitsfehler gemacht... Und gleich darunter rechts ein Pi vergessen. Hammer

Hammer

06.05.2010, 16:20

Nik88

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Was denn für einen Flüchtigkeitsfehler?
Finde den nit...

06.05.2010, 16:36

gonnabphd

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Ich hoffe schwer, dass das nicht dein Ernst ist! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jedenfalls, nach meinem dezenten Hinweis, hier nochmal explizit:

Poste den Lösungsweg, sonst wird's schwierig Fehler zu entdecken.

06.05.2010, 17:01

Nik88

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$\begin{eqnarray*} V (Rot.) = \pi \int_0^1 \! (\frac{1}{2}(e^{x} +e^{-x} ))²\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \pi \int_0^1 \! \frac{1}{4}(e^{2x} +e^{-2x}+2 )\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \pi [ \frac{1}{4}x(\frac{1}{2} e^{2x} +\frac{1}{2} e^{-2x}+2x )]_0^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \pi *(1,406 - 0)= 1,406\pi = 4,419 \end{eqnarray*}$

06.05.2010, 17:19

Nik88

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$\begin{eqnarray*} O(rot.)=2\pi \int_0^1 \! \frac{1}{2}(e^{x} +e^{-x} )\sqrt{1+(e^{x} +e^{-x} )² } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2\pi \int_0^1 \! \frac{1}{2}(e^{x} +e^{-x} ) (1^{\frac{1}{2} } +(e^{x} +e^{-x} )) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2\pi \int_0^1 \! \frac{1}{2}(e^{x} +e^{-x} ) (e^{x} +e^{-x} )² \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2\pi \int_0^1 \! \frac{1}{2}(e^{x} +e^{-x} )³ \, dx \end{eqnarray*}$

subst:
$\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{2} (e^{x} +e^{-x} )³ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(0) = 4 ; t(1) = 14,69 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2\pi \int_4^1 \! t \, dt \end{eqnarray*}$ (die obere Grenze hat hier statt 1 = 14,69)

$\begin{eqnarray*} =2\pi [\frac{1}{2}t² ]_4^14,69 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =199,8\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =627,7 \end{eqnarray*}$

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06.05.2010, 17:37

gonnabphd

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Frage: $\begin{eqnarray*} \sqrt{A+B} \overset{?}{=} \sqrt{A}+\sqrt{B} \end{eqnarray*}$ . Wink

Wink

Gib ein Gegebeispiel an.

Und auch in der nächsten Zeile eine ähnliche Umformung, die falsch ist:

$\begin{eqnarray*} 1^{\frac{1}{2} } +(e^{x} +e^{-x} ) \neq (e^{x} +e^{-x} )^2 \end{eqnarray*}$

Setz' doch mal x=0 ein... verwirrt

verwirrt

06.05.2010, 17:52

Nik88

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$\begin{eqnarray*} O(rot.)=2\pi \int_0^1 \! \frac{1}{2}(e^{x} +e^{-x} )\sqrt{1+\frac{1}{2}(e^{x} -e^{-x} )² } \, dx \end{eqnarray*}$

so müsste das glaube aussehen...oder?
komme aber dann trotzdem nicht weiter

06.05.2010, 18:02

gonnabphd

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Naja, fast:

$\begin{eqnarray*} O(rot.)=2\pi \int_0^1 \! \frac{1}{2}(e^{x} +e^{-x} )\sqrt{1+\frac{1}{4}(e^{x} -e^{-x} )² } \, dx \end{eqnarray*}$

Multiplizier das unter der Klammer doch mal aus und vereinfache dann.

06.05.2010, 18:04

Limo

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Das 1/2 muss doch innerhalb des Quadrats in der Wurzel stehen, oder?

O(rot.) = 2pi integral(0.5(e^x+e^(-x)) (1+(0.5(e^x-e^(-x)) )^2), 0,1)

/E: oke hat sich erledigt geändert Big Laugh

Big Laugh

/E: ach ja kannst übrigens substituieren... 0.5(e^x-e^(-x)) und 0.5(e^x+e^(-x))

31.05.2010, 17:09

FrankyHill

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Hallo, sitze grad an der selben Aufgabe. Leider habe ich beim vereinfachen Probleme. Kann mir mal wer sagen wie es weiter geht.

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int_0^1 \! \frac{1}{2} (e^x+e^{-x})*\sqrt{1+\frac{1}{4}(e^{2x}+e^{-2x}-2) } \, dx \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das unter der Wurzel auflösen???
Danke

Mfg Franky

31.05.2010, 18:40

gonnabphd

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Fass' doch einfach mal zusammen, was du zusammenfassen kannst... z.B. (1+x + y + 4) lässt man ja auch nicht so stehen, oder?...

01.06.2010, 11:36

FrankyHill

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Wäre das so möglich??

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int_0^1 \! \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})*(\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})+\sqrt{-\frac{2}{2}+1 }) \, dx \end{eqnarray*}$

Dann fällt der hintere Term weg. Stimmt das so???

01.06.2010, 11:51

gonnabphd

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Das ist in der Tat gleich dem anderen Ausdruck. Aber da du keine Zwischenschritte gepostet hast, kann ich nicht beurteilen, ob deine Umformungen richtig waren - und davon gehe ich mal nicht aus, denn auf den Wurzelterm rechts kommt man normalerweise nicht.

01.06.2010, 12:28

FrankyHill

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Der fällt ja auch weg wenn man das unter der Wurzel auflöst. Dacht nur so kann man besser erkennen was ich gemacht habe.

Sieht dann so aus

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int_0^1 \! \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})* \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int_0^1 \! \frac{1}{4}(e^{2x}+e^{-2x}+2) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2\pi }{4}\left[\frac{1}{2}(e^{2x}-e^{-2x})+2x \right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4}\left[(e^{2x}-e^{-2x})+\frac{2\pi }{4}*2x \right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{\pi }{4}(e^{2*1}-e^{-2*1})+\frac{2\pi }{4}*2*1 )-(\frac{\pi }{4}(e^{2*0}-e^{-2*0})+\frac{2\pi }{4}*2*0 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{\pi }{4}(e^{2}-e^{-2})+\frac{2\pi }{4}*2 )-0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{\pi }{4}(e^{2}-e^{-2})+ \pi \end{eqnarray*}$

Stimmt das???

01.06.2010, 13:48

gonnabphd

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Zitat:

Der fällt ja auch weg wenn man das unter der Wurzel auflöst. Dacht nur so kann man besser erkennen was ich gemacht habe.

Ja, genau weil der Term wegfällt ist es richtig, aber bei den korrekten (bzw. meinen) Umformungen taucht so ein Term gar nie auf. Deshalb mein Kommentar dazu.

Beim Rest kann ich keinen Fehler entdecken.

smile

smile

01.06.2010, 14:06

FrankyHill

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Super, danke schön!!!

01.06.2010, 15:25

FrankyHill

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So, dann soll ich noch die Oberfläche des Körpers berechnen. Dazu hab ich folgende Formel

$\begin{eqnarray*} O=\pi *(f_{(b)})^2+\pi *(f_{(a)})^2 + Mantelfl. \end{eqnarray*}$

Wenn ich das einsetz:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} (e^2+e^{-2}+2)+\frac{\pi }{4} (4)+\frac{\pi }{4}(e^2-e^{-2})+\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4}(e^2+e^{-2})+\frac{\pi }{4}(e^2-e^{-2})+\frac{\pi }{2}+\pi +\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2}(e^2+e^{-2}+e^2-e^{-2})+\frac{5\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Irgendwo ist nen Fehler. Kann mir da wer helfen???

01.06.2010, 16:03

gonnabphd

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Was sollte denn rauskommen?

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2}(e^2+e^{-2}+e^2-e^{-2})+\frac{5\pi }{2} = \pi e^2+\frac{5\pi }{2} \end{eqnarray*}$

01.06.2010, 16:08

FrankyHill

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Sollte das raus kommen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} (5+e^2-e^{-2}) \end{eqnarray*}$

???

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