Rekursionsformel mit Integral

Neue Frage »

28.10.2006, 16:31	JamesBordy	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursionsformel mit Integral Hey! Ich hab hier folgendes Itegral $\begin{eqnarray} I_n = \int_{0}^{1}~\frac{x^{n}}{x+5} ~dx \end{eqnarray}$ Nun soll ich die Rekursionsformel $\begin{eqnarray} I_n + 5I_{n-1} = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ beweisen. Der Ansatz fällt mir schwer. Soll ich mit vollständiger Induktion rangehen oder das Integral berechnen und dann irgendwie zu $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ umformen ?
28.10.2006, 16:43	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursionsformel mit Integral Schreib doch erstmal hin, was $\begin{eqnarray} I_n + 5I_{n-1} \end{eqnarray}$ ist.
28.10.2006, 16:46	xrt-Physik	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} I_{n+1} = \int_{0}^{1}~\frac{x^{n}}{x+5}x~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I_{n} = \int_{0}^{1}~\frac{x^{n}}{x+5}~dx \end{eqnarray}$ Benutzen kannst du auch den Ansatz $\begin{eqnarray} I_{n+1}+5I_{n} = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ Zum Integrieren von I_(n+1) benutzst du die partielle Integration.
28.10.2006, 16:54	JamesBordy	Auf diesen Beitrag antworten »
@Dual Space: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~\frac{x^{n}}{x+5} ~dx + 5\int_{0}^{1}~\frac{x^{n-1}}{x+5} ~dx \end{eqnarray}$ @xrt-Physik: ok angenommen ich nehme deinen Anatz und habe nun $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~\frac{x^{n}}{x+5} * x ~dx + 5\int_{0}^{1}~\frac{x^{n}}{x+5} ~dx = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ nun beide Integrale lösen ? das erste mit partieller inegration..... ich versuchs mal grad
28.10.2006, 17:04	JamesBordy	Auf diesen Beitrag antworten »
oh mann oh mann ich hab schon wieder alles vergessen.... Wie integriert man: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~\frac{x^{n}}{x+5} ~dx \end{eqnarray}$ ?
28.10.2006, 17:08	xrt-Physik	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder: Substituiere bei beiden Integralen: u = x+5 Verwende für (u-z)^n [z konstant] den binomischen Lehrsatz: $\begin{eqnarray} (u-z)^{n} = \sum_{i=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}(-z)^{i}(u)^{n-i} \end{eqnarray}$ Bei der Division der binomischen Formel n-ten Grades, muss bei Division durch u das eine Integral von Brüchen beachtet werden.
Anzeige

28.10.2006, 17:15	xrt-Physik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß eine bessere Idee! Integrale kann man doch zusammenfassen. Es gilt: $\begin{eqnarray} \int~u(x)~dx+ \int~v(x)~dx = \int~u(x)+v(x)~dx \end{eqnarray}$ Dann kürzt sich der Nenner raus. Jetzt musst du nur noch die Potenzregel anwenden und die Integrationsgrenzen einsetzen!
28.10.2006, 17:23	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{x+5} \dd x + 5\int_{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{x+5} \dd x=\int_0^1 \frac{x^{n-1}}{x+5} (x+5)\dd x=\dots \end{eqnarray}$
28.10.2006, 17:30	JamesBordy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok! danke an euch zwei Ist ja ein einzeiler
28.10.2006, 17:32	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Daher ja auch mein kurzer Hinweis zu Beginn.
28.10.2006, 17:59	JamesBordy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursionsformel mit Integral Nachdem ich nun an den zwei Zeilen über eine Stunde saß sitze ich nun vor der zweiten Teilaufgabe und verstehe noch nicht mal was genau gefordert ist ....wäre dankbar wenn mir jmd hilft http://beautystyle-as.de/uni/data/tutorien/info/Posts/b.JPG
28.10.2006, 19:28	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Lös die Rekursionsformel einmal nach $\begin{eqnarray} I_n \end{eqnarray}$ und einmal nach $\begin{eqnarray} I_{n-1} \end{eqnarray}$ auf, dann kannst du mit den Startwerten $\begin{eqnarray} I_0 \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} I_{30} \end{eqnarray}$ und die anderen 29 Werte kannst du dann einmal von unten bzw oben berechnen. Damit dass ganze nicht in stupide Rechnerei ausartet, empfehl ich dir, entweder Maple oder zb. Jave/C++ zu benutzten. (Ich habs mit Java gemacht) Ps.: Ich denke es geht bei der Aufgabe um Abweichungen durch Rundungs- und andere Fehler.
28.10.2006, 19:39	swerbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also, eine Auffälligkeit wirst du richtig bemerken, wenn du $\begin{eqnarray} I_0,I_1,I_2,\ldots ,l_{30} \end{eqnarray}$ berechnest und danach nochmal $\begin{eqnarray} I_{30},I_{29},I_{28},\ldots ,l_0 \end{eqnarray}$ Bezüglich der numerischen Stabilität fällt dir bestimmt was auf (würde aber beides mit einem CAS berechnen (Maple,...)) Gruß swerbe
29.10.2006, 16:28	JamesBordy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich erhalte für den ersten Fall: I_0= 0.1823215567939546 I_1= 0.08839221603022707 I_2= 0.05803891984886467 I_3= 0.04313873408900998 I_4= 0.03430632955495011 I_5= 0.02846835222524946 I_6= 0.024324905540419356 I_7= 0.02123261515504607 I_8= 0.018836924224769652 I_9= 0.016926489987262844 I_10= 0.015367550063685786 I_11= 0.01407134059066198 I_12= 0.012976630380023432 I_13= 0.012039925022959766 I_14= 0.011228946313772595 I_15= 0.010521935097803692 I_16= 0.00989032451098154 I_17= 0.009371906856857001 I_18= 0.008696021271270546 I_19= 0.009151472591015689 I_20= 0.00424263704492156 I_21= 0.026405862394439816 I_22= -0.08657476651765363 I_23= 0.47635209345783336 I_24= -2.3400938006225003 I_25= 11.740469003112501 I_26= -58.66388347710097 I_27= 293.35645442254184 I_28= -1466.746557826995 I_29= 7333.7672718935955 I_30= -36668.80302613464 und für den zweiten: I_30= 0.0035714285714285713 I_29= 0.006182266009852217 I_28= 0.0059064039408866995 I_27= 0.006226126619230067 I_26= 0.006447082368461679 I_25= 0.006710583526307665 I_24= 0.0069912166280718 I_23= 0.007297408848298684 I_22= 0.007631427321249354 I_21= 0.007997524059559651 I_20= 0.00840049518808807 I_19= 0.008846216751856071 I_18= 0.009341867760739897 I_17= 0.009896332330204961 I_16= 0.010520733533959008 I_15= 0.011229186626541533 I_14= 0.012039876960405978 I_13= 0.012976639992534188 I_12= 0.014071338668159827 I_11= 0.015367550448186218 I_10= 0.016926489910362757 I_9= 0.01883692424014967 I_8= 0.021232615151970065 I_7= 0.024324905541034558 I_6= 0.02846835222512642 I_5= 0.034306329554974715 I_4= 0.04313873408900506 I_3= 0.05803891984886565 I_2= 0.08839221603022687 I_1= 0.18232155679395462 I_0= Nicht definiert(Infinity) Aber was soll mir daran nun auffallen

Neue Frage »

Antworten »

Rekursionsformel mit Integral

Verwandte Themen