Nullteiler etc.

06.05.2010, 14:10

Jianne

Nullteiler etc.

Hallo ihr Lieben.

Ich soll in einer Aufgabe die Nullteiler von Z720 bestimmen. Muss ich das mit ausprobieren machen oder gibt es dafür auch irgendeine Formel wo ich das einsetzen kann?

Dann das nächste: Sei n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie falls $\begin{eqnarray*} \gamma \left(n\right) \in P \end{eqnarray*}$ , dann folgt [latex\gamma \left(n\right) = 2[/latex]. Das gamma soll übrigens ein phi sein, gabs nur im formeleditor nicht.
Ich verstehe nicht was das mit dem P zu tun hat. Warum ist das gleich 2 und vor allem wie und was soll ich da zeigen????

Das letzte:

Man zeige dass es unendlich viele n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \gamma \left(n\right) \end{eqnarray*}$ eine quadratzahl ist.

da habe ich gar keine ahnung. auch wenn es unedlich viele gibt, warum ist es dann zwangsläufig eine quadratzahl?

Ich stehe auf dem schlauch. hoffe ihr könnt mir helfen

06.05.2010, 14:22

tmo

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$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z_n \end{eqnarray*}$ ist genau dann Nullteiler, wenn es ein $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb Z_n \setminus{0} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} ab=0 \end{eqnarray*}$ .

Übersetzt auf alle ganzen Zahlen heißt das einfach nur $\begin{eqnarray*} n | ab \end{eqnarray*}$ .

Hilft das schon?

06.05.2010, 18:51

Mystic

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Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z_n \end{eqnarray*}$ ist genau dann Nullteiler, wenn es ein $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb Z_n \setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} ab=0 \end{eqnarray*}$ .

Ja, das ist die korrekte und auch übliche Definition...Leider muss man sagen, dass es auch einige wenige Autoren gibt, welche die 0 selber als Nullteiler aus irgendwelchen unerfindlichen Gründen ausschließen ... Um ganz sicher zu gehen, sollte man also besser nochmals nachsehen, wie das in der Vorlesung genau definiert wurde...

06.05.2010, 22:39

Jianne

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In der Vorlesung hatten wir die Definition, dass a und auch b ungleich 0 sein müssen, aber ab dann wie in diesem Falle 720 ergeben müssen, also kein Rest bleibt. Meine Frage ging einfach nur in die Richtung, was ich da jetzt als Antwort schreiben soll? Soll ich alle Kombinationen aufschreiben, also durch "ausprobieren" oder gibt es eine formale Antwort, die da nun gefragt ist?

Was sagt ihr zu den anderen beiden Aufgaben?

06.05.2010, 23:35

Jianne

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Ich habe jetzt zu aufgabe 1 eine formel gefunden, aber ich kanns dann irgendwie nicht einsetzen.

$\begin{eqnarray*} \gamma \left(p^{k} \right) = p^{k} - p^{k-1} = p^{k}\cdot \left(1- \frac{1}{p} \right) \end{eqnarray*}$

07.05.2010, 10:06

Mystic

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Zitat:

Original von Jianne
Ich habe jetzt zu aufgabe 1 eine formel gefunden, aber ich kanns dann irgendwie nicht einsetzen.

$\begin{eqnarray*} \gamma \left(p^{k} \right) = p^{k} - p^{k-1} = p^{k}\cdot \left(1- \frac{1}{p} \right) \end{eqnarray*}$

In Hinblick auf das, was du zeigen willst, ist das die "falsche" Formel...Die "richtige" Formel wäre

$\begin{eqnarray*} \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1) \end{eqnarray*}$

Beachte den Riesenunterschied oder mit einem klassischen Zitat: Vive la différence!

PS: Und schau dir auch endlich mal an, wie man die phi-Funktion in LaTeX codiert...

Edit: Was deine Frage bez. der Nullteiler in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_n \end{eqnarray*}$ mit n=720 betrifft, würde ich dir dringend raten, einmal das Ganze mit einem kleineren n, z.B. n=12 durchzuspielen... Welche $\begin{eqnarray*} a \in \{1,2,..,11\} \end{eqnarray*}$ sind in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{12} \end{eqnarray*}$ Nullteiler, wie kann man sie mit Hilfe des ggT(a,12) charakterisieren, was ist daher ihre Anzahl usw. ... Wenn du diese Frage für n=12 beantworten kannst, was ja wirklich einfach sein sollte, dann auch für n=720, da bin ich mir sicher...

Und ja, dass dein Professor die 0 als Nullteiler ausgeschlossen hat, ist zwar sehr betrüblich, aber hier noch kein großes Problem...Du darfst halt dann den Fall a=0 nicht betrachten und musst dies in der Anzahlformel berücksichtigen...

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