Levi-Civita-Symbol / Kronecker-Delta

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Ellie89 Auf diesen Beitrag antworten »
Levi-Civita-Symbol / Kronecker-Delta
Grüßt euch,

ich stehe hier vor einem Sachverhalt, den ich absolut nicht begreifen will. Das ist mir bisher im gesamten Studium nicht passiert, dass ich nach Nachschlagen nicht wenigstens das große Ganze begriffen habe. Beim Levi-Civita-Symbol oder -Tensor muss ich passen. Da gab es in der Vorlesung genau einen Mini-Absatz zum Thema (lediglich die Definition) und mehr nicht. Anschließend durfte man in den Hausaufgaben solche Relationen zeigen:



Dabei soll das Thema absurd einfach sein, bischen fummelige Addition und mehr nicht. Und ich verstehe absolut den Zusammenhang nicht.

Das Thema ist zusammen mit Vektorrechnung (Skalarprodukt, Vektorprodukt) eingeführt worden, falls es interessiert. Außerdem soll die Einsteinsche Summenkonvention gelten. Wäre irgendjemand so nett, mich an das Thema ranzuführen? Eine Art "Frage-Antwort" wäre nicht schlecht, damit ich auch selber darauf komme. Die Hilfe würde ich sehr zu schätzen wissen. Bisher kenne ich eigentlich nur die Definitionen. Beim Kronecker-Delta ist sie noch einfach zu verstehen (zwei Indizes gleich, dann 1, ansonsten 0). Beim Levi-Civita habe ich es auch verstanden, nehme ich an. Nur was kann ich jetzt damit anfangen?
Ellie89 Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner? unglücklich
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also.

Versuch das zu beweisen:



Wenn du das hinkriegst mit der Tensorschreibweise dann solltest du das verstanden haben. Bei der Gleichung brauchst du auch deine Relation.
Ellie89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo
Ja, also.

Versuch das zu beweisen:



Wenn du das hinkriegst mit der Tensorschreibweise dann solltest du das verstanden haben. Bei der Gleichung brauchst du auch deine Relation.


Kriege ich leider nicht. Ich habe nicht einmal einen Ansatz. Ich kann mit dem LV gar nicht umgehen. Für mich ist das eine "Funktion", die je nach Indizeanordnung eine -1, 0 oder 1 abbildet. Aber inwiefern mir das jetzt weiterhilft: unglücklich
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ein Tensor, welcher so definiert ist:



Du musst dich damit auseinander setzen, ansich ist die ganze Sache sehr einfach - wenn man durch steigt smile

Ich zeig dir mal das für ein Kreuprodukt:



Jetzt schauen wir und mal an was in der 1. Komponente beim Kreuzprodukt steht, also setzen wir Alpha = 1 :



Dabei ist . Das Ergebnis kannst du leicht nachprüfen mit (hoffentlich) bekannten Methoden wie man ein Kreuprodukt berechnet.

Das wars erstmal von mir smile
Ellie89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo
Ich zeig dir mal das für ein Kreuprodukt:



Jetzt hast du dir die Mühe gemacht und ich muss leider sagen, dass ich nichts verstehe. Weder , noch das umgedrehte Dreieck. Vielleicht sollte ich dazu erwähnen, dass ich mich im 1. Semester Physik befinde und Leci-Civita schon in der 2. Vorlesung dran kam. Zum Kreuzprodukt wurde nur so viel gesagt:

 
 
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok, dann vergiss erstmal das was ich dir gesagt habe.

Ich finde das sehr komisch dass ihr schon ein Tensor im 1. Semester einführt, da ihr noch gar nicht das mathematische Verständnis dafür mitbringt. Wie dem auch sei, zu deiner Aufgabe:

Dann betrachte die einzelnen Fälle. Also wenn i,j,k eine gerade Permutation ist und i,m,n ebenso, dann folgt.... Das ist eben etwas umständlich, aber da machst du dir die Definition nochmal bissl klar. Du wirst noch nicht verstehen wozu man den brauch.

Aber als kleinen Tip:

Das umgedrehte Dreieck nennt sich Nablaoperator oder Gradient. Man leitet so eine skalare Funktion nach ihren Argumenten ab und bildet einen Spaltenvektor. So steht zum Beispiel in der 1. Zeile die Ableitung nach x, in der 2. nach y und soweiter. Das rot ist die Rotation eines Vektors und das ist das Kreuzprodukt von Nabla mit dem Vektor.

Zitat:



Hattet ihr denn überhaupt schon Determinanten? Und diese kleinen e sind die Basisvektoren. Das sind keine skalare Größen (weil du keine Pfeile drüber gemacht hast).
Ellie89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo
Ich finde das sehr komisch dass ihr schon ein Tensor im 1. Semester einführt, da ihr noch gar nicht das mathematische Verständnis dafür mitbringt.


Na ja. Zitat Professor: "Im Physikstudium brauchen Sie 4 Semester höhere Mathematik, aber wir können nicht 4 Semester warten, um mit der Physik anzufangen." Der Kurs bringt sozusagen die Rechentechniken bei. Beweise und das mathematische Drumherum kommt dann später in den Mathekursen.

Zitat:
Original von stereo
Zitat:



Hattet ihr denn überhaupt schon Determinanten? Und diese kleinen e sind die Basisvektoren. Das sind keine skalare Größen (weil du keine Pfeile drüber gemacht hast).


Richtig, ich habe die Pfeile vergessen. Vorm Studium habe ich mir selber etwas Analysis und Lineare Algebra beigebracht. Von daher weiß ich auch was eine Determinante ist. Aber LV sehe ich jetzt immer noch nicht ein. Ich meine, die Einheitsvektoren bzw. Komponenten haben Indizes. Damit muss es zu tun haben. Mehr sehe ich einfach nicht. Sorry. unglücklich
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja der Prof hat schon recht. Ohne Mathe geht keine Physik.

Wo liegt jetzt dein Problem?
Ellie89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo
Ja der Prof hat schon recht. Ohne Mathe geht keine Physik.

Wo liegt jetzt dein Problem?


Ähm. Heißt Levi-Civita jetzt, dass wenn ich z. B. ausklammere, erhalte und das gleich 1 (wegen Indizes 1,2,3) - (-1) (wegen Indizes 1,3,2) ist? Ich meine, natürlich wäre das Unsinn, weil ist, also die Multiplikation kommutativ, aber damit du mal siehst, wie ich da denke.
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, also:

Levi-Civita ist ein antisymmetrischer Tensor 3. Stufe, das Symbol dafür ist das Epsilon und nur dieses. Die Indizes am sind entscheidend.

Die (i=1,2,3) sind die Einheitsvektoren und die haben nichts mit Levi-Civita zu tun.

Zu den Einheitsvektoren:



Hier ist der Ortsvektor mit x-, y- bzw. z-Komponente.
Ellie89 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist für dich vermutlich schon so einfach, dass du dich gar nicht mehr reindenken kannst, wie ich da Schwierigkeiten habe. Big Laugh

Das Kronecker-Delta verstehe ich z. B. ein bischen: . Wenn ich i als Zeile und j als Spalte einer Matrix betrachte, kriege ich mit dem Kroneckerdelta eine Einheitsmatrix. Die Diagonale 1en (da i = j) und sonst nur 0en. So. So viel kann ich damit anfangen. Das Kronecker-Delta identifiziere ich also mit den Komponenten einer Matrix bzw. mit den Zeilen und Spalten.

Und beim Epsilon-Tensor? Was bei einem Vektor oder einer Matrix sind da die Indizes?

Ich werde dich auslöchern, bis ich es begriffen habe, sorry. Big Laugh
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Also den Levi-Civita Tensor kannst du soweit ich weiß nicht in einer Matrix darstellen, weil diese Matrix dann auch eine Tiefe bräuchte. Also sie wäre wie ein Würfel angeordnet.

Lass die von den Indizes nicht abschrecken, geh einfach nach der Definition vor.

Und zu dem Kronecker-Delta:
Bis jetzt hatte ich noch keine Verwendung für die Matrixschreibweise, vielleicht kommt das aber noch.



Merke dir das erstmal so. Beispiele:




Verstehst du nun das:

Ellie89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo
Merke dir das erstmal so. Beispiele:




Verstehst du nun das:



Ja, das verstehe ich. Denn: . Übrig bleibt

Und jetzt mal bitte sowas für den Epsilon-Tensor.
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo

Jetzt schauen wir und mal an was in der 1. Komponente beim Kreuzprodukt steht, also setzen wir Alpha = 1 :





Ich weiß nicht ob dir die Einsteinsche Summenkonvention geläufig ist, deswegen nochmal ausführlich:



Aber das so ausrechnen macht man nur einmal. Man geht so vor:

Man weiß dass der Tensor gerade 1 ist wenn und . Wenn und ist, ist der Tensor -1 , ansonsten 0.

Also jetzt steht ansich alles da - wenn du jetzt noch gezielte Fragen hast, dann stell sie.
Ellie89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werd's mir mal gleich genauer anschauen. Die Summenkonvention soll besagen, dass über dopplelt auftauchende Indizes summiert wird. Ein Beispeil wäre natürlich trotzdem nicht schlecht. Heißt das einfach, dass man statt das Summenzeichen weglässt? Gilt das auch für die Addition ?

Mit partiellen Ableitungen bin ich eigentlich auch noch nicht so vertraut.
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird nur bei doppelt auftretenden Indizes in einen Produkt summiert.
Ellie89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo
Es wird nur bei doppelt auftretenden Indizes in einen Produkt summiert.


MINDESTENS doppelt oder genau doppelt? Big Laugh



Wird hier auch summiert und ist dann: ?
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Nur über doppelt auftretende.
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